"스미스-민코프스키-지겔 질량 공식"의 두 판 사이의 차이

2021년 2월 17일 (수) 02:22 기준 최신판

개요

주어진 양의 정부호 이차형식 \(q\)에 대하여 방정식 \(q(x)=n\)의 해의 개수 \(r(q,n)\)를 구하는 것은 정수론의 오래된 문제
지겔의 질량 공식은 \(q\)와 같은 genus에 속하는 이차형식 \(q'\)들에 대한 \(r(q',n)\)값의 가중치평균(weighted average)을 모든 소수에 대한 local densities의 곱으로 표현함
local densities : measure the number of congruence solutions of the equation modulo high powers of the respective prime.

스미스-민코프스키-지겔 질량 공식

\(n\geq 2\) 자연수
\(f\) : 양의 정부호인 \(n\) 차원 정수계수 이차형식
\({\rm gen}(f)\) \[f\]와 같은 genus에 속하는 이차형식의 동치류
\(\rm{Aut}(\cdot)\) : 자기동형군
\(f\)의 질량 \(m(f)\)를 다음과 같이 정의

\[ m(f):=\sum_{M\in {\rm gen}(L)}\frac{1}{|{\rm Aut}(M)|} \]

정리 (스미스-민코프스키-지겔)

다음이 성립한다 \[m(f) = 2\pi^{-n(n+1)/4}\prod_{j=1}^n\Gamma(j/2)\prod_{p\text{ prime}}2m_p(f)\] 여기서 충분히 큰 \(r\)에 대하여, \[m_p(f) = {p^{(rn(n-1)+s(n+1))/2}\over N(p^r)}\]

\(p^s\)는 \(f\)의 판별식을 나누는 p의 가장 큰 거듭제곱,
\(N(p^r)\)은 다음을 만족하는 \(\mathbb{Z}/p^r\mathbb{Z}\)위의 \(n\times n\) 행렬의 개수

\[X^tAX \equiv A\ \bmod\ p^r\]

예

n차원 even unimodular 격자의 경우의 질량 공식은 다음과 같이 표현된다

\[\sum_{\Lambda}{1\over|\operatorname{Aut}(\Lambda)|} = {|B_{n/2}|\over n}\prod_{1\le j< n/2}{|B_{2j}|\over 4j}\label{evenu} \]

여기서 \(B_k\)는 베르누이 수

8차원

8차원 even unimodular 격자는 E8격자 뿐이이며 질량 공식 \ref{evenu}의 우변은 다음과 같다

\[ \frac{1}{696729600} \]

696729600은 E8격자의 자기동형군의 크기이며, 바일군 \(W(E_8)\)의 크기이기도 하다

16차원

16차원에서 \ref{evenu}의 좌변과 우변은 다음과 같다

\[ \frac{1}{2\cdot 696729600^2}+\frac{1}{2^{15}16!}=\frac{691}{277667181515243520000} \]

24차원

\ref{evenu}의 값은 다음과 같다

\[ \frac{1027637932586061520960267}{129477933340026851560636148613120000000} \]

지겔-베유 공식

지겔-베유 공식은 지겔의 결과(1951, 1952)에 대한 베유의 확장(1964, 1965)
같은 genus에 속하는 격자의 세타함수에 대한 가중치평균을 아이젠슈타인 급수로 표현함
rank가 \(n\)인 격자 \(L\)과 정수 \(g\leq n\)를 고정
지겔 세타 급수는 지겔 상반 공간 \(\mathbb{H}_g=\{Z\in {\rm Mat}(g,\C)\mid Z=Z^t,\ {\rm Im}(Z)>0\}\) 정의된 함수로

\[\Theta^{(g)}_L(Z)=\sum_{v_1,\,\ldots,\,v_g\in L}e^{2\pi i\,{\rm tr} ((v_1,\ldots,v_g)(v_1,\ldots,v_g)^tZ) }.\]

\({\rm Sp}(g,\Z)\)의 합동부분군 \(\Gamma\)에 대해 weight이 \(n/2\)인 지겔 모듈라 형식

정리

\[\left( \sum_{M\in {\rm gen}(L)}\frac{\Theta_M^{(g)}(Z)}{|{\rm Aut}(M)|}\right)\,\cdot\, \left(\sum_{M\in {\rm gen}(L)}\frac{1}{|{\rm Aut}(M)|}\right)^{-1}= E^{(g)}(Z),\] 여기서 \(E^{(g)}(Z)\)는 \(\Gamma\)에 대한 아이젠슈타인 급수이며 \(L\)의 genus에만 의존

지겔-베유 공식 항목 참조

메모

Mackey - Unitary Group Representation in Physics, Probability and Number Theory, page 326

수학용어번역

Maßformel - measure formula
mass formula는 잘못된 번역이므로, 질량 공식도 역시 잘못된 번역

매스매티카 파일 및 계산 리소스

사전 형태의 자료

리뷰, 에세이, 강의노트

Integral quadratic forms and volume formulas, UBC graduate seminar, winter 2011
Jonathan Hanke, Quadratic Forms and Automorphic Forms
Shimura, Goro. 2006. “Quadratic Diophantine Equations, the Class Number, and the Mass Formula.” Bulletin of the American Mathematical Society 43 (3): 285–304. doi:10.1090/S0273-0979-06-01107-4.
Haris, S. J. 1980. “Number Theoretical Developments Arising from the Siegel Formula.” Bulletin of the American Mathematical Society 2 (3): 417–33. doi:10.1090/S0273-0979-1980-14754-0.
Siegel's integral
Kimball Martin, lecture notes for number theory
- chapter 7. Quadratic Forms
Finch, Minkowski-Siegel Mass Constants

메타데이터

위키데이터

ID : Q217465

Spacy 패턴 목록

[{'LEMMA': 'Smith'}]

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 ==개요==
-* 주어진 양의 정부호 이차형식 $q$에 대하여 방정식 $q(x)=n$의 해의 개수 $r(q,n)$를 구하는 것은 정수론의 오래된 문제
+* 주어진 양의 정부호 이차형식 <math>q</math>에 대하여 방정식 <math>q(x)=n</math>의 해의 개수 <math>r(q,n)</math>를 구하는 것은 정수론의 오래된 문제
-* 지겔의 질량 공식은 $q$와 같은 genus에 속하는 이차형식 $q'$들에 대한 $r(q',n)$값의 가중치평균(weighted average)을 모든 소수에 대한  local densities의 곱으로 표현함
+* 지겔의 질량 공식은 <math>q</math>와 같은 genus에 속하는 이차형식 <math>q'</math>들에 대한 <math>r(q',n)</math>값의 가중치평균(weighted average)을 모든 소수에 대한  local densities의 곱으로 표현함
 * local densities : measure the number of congruence solutions of the equation modulo high powers of the respective prime.
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 ==스미스-민코프스키-지겔 질량 공식==
-* $n\geq 2$ 자연수
+* <math>n\geq 2</math> 자연수
-* $f$ : 양의 정부호인 $n$ 차원 정수계수 이차형식
+* <math>f</math> : 양의 정부호인 <math>n</math> 차원 정수계수 이차형식
-* ${\rm gen}(f)$ : $f$와 같은 genus에 속하는 이차형식의 동치류
+* <math>{\rm gen}(f)</math> : <math>f</math>와 같은 genus에 속하는 이차형식의 동치류
-* $\rm{Aut}(\cdot)$ : 자기동형군
+* <math>\rm{Aut}(\cdot)</math> : 자기동형군
-* $f$의 질량 $m(f)$를 다음과 같이 정의
+* <math>f</math>의 질량 <math>m(f)</math>를 다음과 같이 정의
-$$
+:<math>
 m(f):=\sum_{M\in {\rm gen}(L)}\frac{1}{|{\rm Aut}(M)|}
-$$
+</math>
 ;정리 (스미스-민코프스키-지겔)
 다음이 성립한다
 :<math>m(f) = 2\pi^{-n(n+1)/4}\prod_{j=1}^n\Gamma(j/2)\prod_{p\text{ prime}}2m_p(f)</math>
-여기서
+여기서 충분히 큰 <math>r</math>에 대하여,
-: <math>m_p(f) = {p^{(rn(n-1)+s(n+1))/2}\over N(p^r)}</math>
+:<math>m_p(f) = {p^{(rn(n-1)+s(n+1))/2}\over N(p^r)}</math>
+* <math>p^s</math>는 <math>f</math>의 판별식을 나누는 p의 가장 큰 거듭제곱,
+* <math>N(p^r)</math>은 다음을 만족하는 <math>\mathbb{Z}/p^r\mathbb{Z}</math>위의 <math>n\times n</math> 행렬의 개수
+:<math>X^tAX \equiv A\ \bmod\ p^r</math>
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 </math>
-여기서 $B_k$는 [[베르누이 수]]
+여기서 <math>B_k</math>는 [[베르누이 수]]
 ===8차원===
 * 8차원 even unimodular 격자는 [[E8]]격자 뿐이이며 질량 공식 \ref{evenu}의 우변은 다음과 같다
-$$
+:<math>
 \frac{1}{696729600}
-$$
+</math>
-* 696729600은 E8격자의 자기동형군의 크기이며, 바일군 $W(E_8)$의 크기이기도 하다
+* 696729600은 E8격자의 자기동형군의 크기이며, 바일군 <math>W(E_8)</math>의 크기이기도 하다
 ===16차원===
 * 16차원에서 \ref{evenu}의 좌변과 우변은 다음과 같다
-$$
+:<math>
 \frac{1}{2\cdot 696729600^2}+\frac{1}{2^{15}16!}=\frac{691}{277667181515243520000}
-$$
+</math>
 ===24차원===
 * \ref{evenu}의 값은 다음과 같다
-$$
+:<math>
 \frac{1027637932586061520960267}{129477933340026851560636148613120000000}
-$$
+</math>
 ==지겔-베유 공식==
-* 지겔-베유 공식은 지겔의 결과(1951, 1952)에 대한 베유의 확장(1964, 1965)
+* [[지겔-베유 공식]]은 지겔의 결과(1951, 1952)에 대한 베유의 확장(1964, 1965)
 * 같은 genus에 속하는 격자의 세타함수에 대한 가중치평균을 아이젠슈타인 급수로 표현함
-* 스미스-민코프스키-지겔 질량 공식은 이 공식의 상수항에 해당
+* rank가 <math>n</math>인 격자 <math>L</math>과 정수 <math>g\leq n</math>를 고정
-* rank가 $n$인 격자 $L$과 정수 $g\leq n$를 고정
+* 지겔 세타 급수는 지겔 상반 공간 <math>\mathbb{H}_g=\{Z\in {\rm Mat}(g,\C)\mid Z=Z^t,\ {\rm Im}(Z)>0\}</math> 정의된 함수로
-* 지겔 세타 급수는 지겔 상반 공간 $\mathbb{H}_g=\{Z\in {\rm Mat}(g,\C)\mid Z=Z^t,\ {\rm Im}(Z)>0\}$ 정의된 함수로
+:<math>\Theta^{(g)}_L(Z)=\sum_{v_1,\,\ldots,\,v_g\in L}e^{2\pi i\,{\rm tr}
-$$\Theta^{(g)}_L(Z)=\sum_{v_1,\,\ldots,\,v_g\in L}e^{2\pi i\,{\rm tr}
+     ((v_1,\ldots,v_g)(v_1,\ldots,v_g)^tZ) }.</math>
-     ((v_1,\ldots,v_g)(v_1,\ldots,v_g)^tZ) }.$$
+* <math>{\rm Sp}(g,\Z)</math>의 합동부분군 <math>\Gamma</math>에 대해 weight이 <math>n/2</math>인 [[지겔 모듈라 형식]]
-* ${\rm Sp}(g,\Z)$의 합동부분군 $\Gamma$에 대해 weight이 $n/2$인 [[지겔 모듈라 형식]]
-* 랭크가 $g\leq n$인 격자들을 $L$에 매장하는 방법의 개수에 대한 정보를 담고 있다
 ;정리
-$$\left( \sum_{M\in {\rm gen}(L)}\frac{\Theta_M^{(g)}(Z)}{|{\rm Aut}(M)|}\right)\,\cdot\,
+:<math>\left( \sum_{M\in {\rm gen}(L)}\frac{\Theta_M^{(g)}(Z)}{|{\rm Aut}(M)|}\right)\,\cdot\,
 \left(\sum_{M\in {\rm gen}(L)}\frac{1}{|{\rm Aut}(M)|}\right)^{-1}=
-E^{(g)}(Z),$$
+E^{(g)}(Z),</math>
-여기서 $E^{(g)}(Z)$는 $\Gamma$에 대한 아이젠슈타인 급수이며 $L$의 genus에만 의존
+여기서 <math>E^{(g)}(Z)</math>는 <math>\Gamma</math>에 대한 아이젠슈타인 급수이며 <math>L</math>의 genus에만 의존
-* 타마가와는 질량 공식이 직교군의 타마가와 수가 2라는 것과 동치임을 보임
+* [[지겔-베유 공식]] 항목 참조
-===8차원===
-* $g=1$의 경우
-* $E_8$격자의 세타함수는 [[아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)]] $E_4$와 같다
-$$\theta_{E_8}(\tau)=E_4(\tau)$$
-===16차원===
-* $g=1$의 경우
-* $E_8^2$격자와 $D_{16}^{+}$격자의 세타함수는 [[아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)]] $E_4^2=E_8$와 같으며 따라서 가중치평균도 이와 같다
-===24차원===
-* $g=1$의 경우
-$$\left( \sum_{M\in {\rm gen}(L)}\frac{\Theta_M(\tau)}{|{\rm Aut}(M)|}\right)\,\cdot\,
-\left(\sum_{M\in {\rm gen}(L)}\frac{1}{|{\rm Aut}(M)|}\right)^{-1}=E_{12}(\tau)$$
-* 여기서 $E_{12}$는 [[아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)]]
-$$
-E_{12}(\tau)=1+\frac{65520 q}{691}+\frac{134250480 q^2}{691}+\frac{11606736960 q^3}{691}+\frac{274945048560 q^4}{691}+\frac{3199218815520 q^5}{691}+\cdots
-$$
 ==메모==
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 * http://en.wikipedia.org/wiki/Siegel–Weil_formula
 * http://en.wikipedia.org/wiki/Weil_conjecture_on_Tamagawa_numbers
-==질문과 답변==
-* http://mathoverflow.net/questions/163357/eisenstein-part-of-the-theta-function
-* http://mathoverflow.net/questions/60355/relation-between-theta-series-and-eisensteinseries
-* http://mathoverflow.net/questions/111519/why-might-andr%C3%A9-weil-have-named-carl-ludwig-siegel-the-greatest-mathematician-of
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 * [http://www.math.ubc.ca/~cass/siegel/INDEX.html Integral quadratic forms and volume formulas], UBC graduate seminar, winter 2011
 * Jonathan Hanke, [http://swc.math.arizona.edu/aws/2009/09HankeNotes.pdf Quadratic Forms and Automorphic Forms]
+* Shimura, Goro. 2006. “Quadratic Diophantine Equations, the Class Number, and the Mass Formula.” Bulletin of the American Mathematical Society 43 (3): 285–304. doi:10.1090/S0273-0979-06-01107-4.
 * Haris, S. J. 1980. “Number Theoretical Developments Arising from the Siegel Formula.” Bulletin of the American Mathematical Society 2 (3): 417–33. doi:10.1090/S0273-0979-1980-14754-0.
-* [http://www.math.umn.edu/~garrett/m/v/easy_siegel_weil.pdf Proof of a simple case of the Siegel-Weil formula]
 * [http://www.math.umn.edu/~garrett/m/v/siegel_integral.pdf Siegel's integral]
-* Haruzo Hida, [http://www.math.ucla.edu/~hida/RT01F.pdf Siegel-Weil Formulas], 2007
 * Kimball Martin, [http://www2.math.ou.edu/~kmartin/ntii/ lecture notes for number theory]
 ** [http://www2.math.ou.edu/~kmartin/ntii/chap7.pdf chapter 7. Quadratic Forms]
+* Finch, [http://www.people.fas.harvard.edu/~sfinch/csolve/ms.pdf Minkowski-Siegel Mass Constants]
 ==관련논문==
-* Kudla, Stephen S. "Some extensions of the Siegel-Weil formula." Eisenstein series and applications. Birkhäuser Boston, 2008. 205-237.
+* Cho, Sungmun. “Group Schemes and Local Densities of Ramified Hermitian Lattices in Residue Characteristic 2 Part I.” arXiv:1210.7894 [math], October 29, 2012. http://arxiv.org/abs/1210.7894.
-* King, Oliver. 2003. “A Mass Formula for Unimodular Lattices with No Roots.” Mathematics of Computation 72 (242): 839–63. doi:10.1090/S0025-5718-02-01455-2.
+* Cho, Sungmun. ‘Group Schemes and Local Densities of Quadratic Lattices in Residue Characteristic 2’. Compositio Mathematica, 5 December 2014, 1–35. doi:10.1112/S0010437X14007829.
-* Shimura, Goro. “The Number of Representations of an Integer by a Quadratic Form.” Duke Mathematical Journal 100, no. 1 (1999): 59–92. doi:10.1215/S0012-7094-99-10002-0.
-* Yang, Tonghai. “An Explicit Formula for Local Densities of Quadratic Forms.” Journal of Number Theory 72, no. 2 (1998): 309–56. doi:10.1006/jnth.1998.2258.
-* Walling, Lynne H. “Explicit Siegel Theory: An Algebraic Approach.” Duke Mathematical Journal 89, no. 1 (1997): 37–74. doi:10.1215/S0012-7094-97-08903-1.
 * Eskin, Alex, Zeév Rudnick, and Peter Sarnak. "A proof of Siegel's weight formula." International Mathematics Research Notices 1991.5 (1991): 65-69. http://www.math.tau.ac.il/~rudnick/papers/siegelmass.pdf
 * Conway, J. H., and N. J. A. Sloane. “Low-Dimensional Lattices. IV. The Mass Formula.” Proceedings of the Royal Society of London. A. Mathematical and Physical Sciences 419, no. 1857 (October 8, 1988): 259–86. doi:10.1098/rspa.1988.0107.
-* Kudla, Stephen S. "Seesaw dual reductive pairs." Automorphic forms of several variables (Katata, 1983) 46 (1983): 244-268.
-* Weil, André. “Sur la formule de Siegel dans la théorie des groupes classiques.” Acta Mathematica 113, no. 1 (July 1, 1965): 1–87. doi:10.1007/BF02391774.
-* Weil, André. “Sur certains groupes d’opérateurs unitaires.” Acta Mathematica 111, no. 1 (July 1, 1964): 143–211. doi:10.1007/BF02391012.
 * Siegel, Carl Ludwig. “Uber Die Analytische Theorie Der Quadratischen Formen.” The Annals of Mathematics 36, no. 3 (July 1935): 527. doi:10.2307/1968644.
 * Minkowski, Hermann. 1882. Grundlagen für eine Theorie der quadratischen Formen mit ganzzahligen Koeffizienten
@@ 146번째 줄: / 118번째 줄: @@
 [[분류:정수론]]
+==메타데이터==
+===위키데이터===
+* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q217465 Q217465]
+===Spacy 패턴 목록===
+* [{'LEMMA': 'Smith'}]

"스미스-민코프스키-지겔 질량 공식"의 두 판 사이의 차이

2021년 2월 17일 (수) 02:22 기준 최신판

목차

개요