"락스 쌍 (Lax pair)"의 두 판 사이의 차이
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| − | * 해밀토니안에 의한 운동방정식과 같다:<math>\dot{q}_i=\{q_i,H\}=\partial H/\partial p_i</math>:<math>\dot{p}_i=\{q_i,H\}-\partial H/\partial q_i</math | + | * 해밀토니안에 의한 운동방정식과 같다:<math>\dot{q}_i=\{q_i,H\}=\partial H/\partial p_i</math>:<math>\dot{p}_i=\{q_i,H\}-\partial H/\partial q_i</math> |
| − | * 많은 | + | * 많은 보존량을 <math>\operatorname{tr}(L^p)</math> 의 형태로 얻을 수 있다:<math>\frac{d}{dt}\operatorname{tr}(L^p)=\operatorname{tr}(p [L,M]L^{p-1})=p\operatorname{tr}(LML^{p-1}-ML^{p})=0</math> 따라서 <math>\operatorname{tr}(L^p)</math> 는 보존량이 된다 |
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** <math>B=\partial_{x}^3+\frac{3}{2}u\partial_{x}+\frac{3}{4}u_{x}</math> | ** <math>B=\partial_{x}^3+\frac{3}{2}u\partial_{x}+\frac{3}{4}u_{x}</math> | ||
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==예 : 사인-고든 방정식== | ==예 : 사인-고든 방정식== | ||
| − | * 적당한 함수 u(t,x)에 대하여, 두 행렬U, V 을 다음과 같이 정의하자:<math>U=\left( \begin{array}{cc} -4 & 2 i u^{(0,1)}(t,x) \\ -2 i u^{(0,1)}(t,x) & 4 \end{array} \right)</math>, <math>V=\left( \begin{array}{cc} -\frac{1}{4} i \cos (u(t,x)) & \frac{1}{4} i u^{(1,1)}(t,x) \\ \frac{1}{4} i u^{(1,1)}(t,x) & \frac{1}{4} i \cos (u(t,x)) \end{array} \right)</math | + | * 적당한 함수 u(t,x)에 대하여, 두 행렬U, V 을 다음과 같이 정의하자:<math>U=\left( \begin{array}{cc} -4 & 2 i u^{(0,1)}(t,x) \\ -2 i u^{(0,1)}(t,x) & 4 \end{array} \right)</math>, <math>V=\left( \begin{array}{cc} -\frac{1}{4} i \cos (u(t,x)) & \frac{1}{4} i u^{(1,1)}(t,x) \\ \frac{1}{4} i u^{(1,1)}(t,x) & \frac{1}{4} i \cos (u(t,x)) \end{array} \right)</math> |
| − | * 두 미분연산자 <math>L=4i \partial_{x} + U</math>와 <math>M=V</math> 가 락스 쌍이 되려면, <math>u_x=0</math> 이거나 <math>\sin (u(t,x))=u^{(1,1)}(t,x)</math> | + | * 두 미분연산자 <math>L=4i \partial_{x} + U</math>와 <math>M=V</math> 가 락스 쌍이 되려면, <math>u_x=0</math> 이거나 <math>\sin (u(t,x))=u^{(1,1)}(t,x)</math> |
* [[사인-고든 방정식]] | * [[사인-고든 방정식]] | ||
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==Lax pairs with spectral parameters== | ==Lax pairs with spectral parameters== | ||
| − | * spectral curve:<math>\{(k,z)\in\mathbb{C}\times\mathbb{C}:\det(kI-L(z))=0\}</math | + | * spectral curve:<math>\{(k,z)\in\mathbb{C}\times\mathbb{C}:\det(kI-L(z))=0\}</math> |
| − | * 대수 곡선이 된다 | + | * 대수 곡선이 된다 |
| − | * 각 점 <math>(k,z)</math> 에 대한 벡터공간 <math>\operatorname{ker}(kI-L(z))=0</math> 을 통해여, 곡선에 대한 line bundle을 얻는다 | + | * 각 점 <math>(k,z)</math> 에 대한 벡터공간 <math>\operatorname{ker}(kI-L(z))=0</math> 을 통해여, 곡선에 대한 line bundle을 얻는다 |
* for examples, look at Introduction to classical integrable systems, chapter 3 http://goo.gl/LaawC | * for examples, look at Introduction to classical integrable systems, chapter 3 http://goo.gl/LaawC | ||
| − | * integrals of motion:<math>\operatorname{tr} L(z)=\sum_{n}L_{n}z^{n} </math | + | * integrals of motion:<math>\operatorname{tr} L(z)=\sum_{n}L_{n}z^{n} </math> |
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==역사== | ==역사== | ||
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* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q= | * http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q= | ||
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==메모== | ==메모== | ||
| − | * [http://www.cns.gatech.edu/people/chandre/Articles/Lax-Pair.pdf Does the existence of a Lax pair imply integrability?] | + | * [http://www.cns.gatech.edu/people/chandre/Articles/Lax-Pair.pdf Does the existence of a Lax pair imply integrability?] |
| − | * http://iopscience.iop.org/0266-5611/25/12/123007 | + | * http://iopscience.iop.org/0266-5611/25/12/123007 |
| − | * [http://www.maths.tcd.ie/%7Eislands/index.php?title=Curves_and_Lax_pairs Curves and Lax pairs] -many examples | + | * [http://www.maths.tcd.ie/%7Eislands/index.php?title=Curves_and_Lax_pairs Curves and Lax pairs] -many examples |
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==관련된 항목들== | ==관련된 항목들== | ||
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Lax_pair | * http://en.wikipedia.org/wiki/Lax_pair | ||
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Liouville%27s_theorem_%28Hamiltonian%29 http://en.wikipedia.org/wiki/Liouville's_theorem_(Hamiltonian)] | * [http://en.wikipedia.org/wiki/Liouville%27s_theorem_%28Hamiltonian%29 http://en.wikipedia.org/wiki/Liouville's_theorem_(Hamiltonian)] | ||
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==관련논문== | ==관련논문== | ||
* Izosimov, Anton. “Singularities of Integrable Systems and Nodal Curves.” arXiv:1408.4844 [math-Ph, Physics:nlin], August 20, 2014. http://arxiv.org/abs/1408.4844. | * Izosimov, Anton. “Singularities of Integrable Systems and Nodal Curves.” arXiv:1408.4844 [math-Ph, Physics:nlin], August 20, 2014. http://arxiv.org/abs/1408.4844. | ||
| − | * [http://dx.doi.org/10.1007/BF02102813 How to find the Lax pair from the Yang-Baxter equation] M. Q. Zhang, 1991 | + | * [http://dx.doi.org/10.1007/BF02102813 How to find the Lax pair from the Yang-Baxter equation] M. Q. Zhang, 1991 |
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| + | ==메타데이터== | ||
| + | ===위키데이터=== | ||
| + | * ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q4115796 Q4115796] | ||
| + | ===Spacy 패턴 목록=== | ||
| + | * [{'LOWER': 'lax'}, {'LEMMA': 'pair'}] | ||
2021년 2월 17일 (수) 04:04 기준 최신판
개요
- 해밀턴 역학에서 보존량을 얻기 위해 유용한 방법
- spectral parameter
기호
- 위치 변수 \(q=(q_1,\cdots,q_N)\)
- 운동량 변수 \(p=(p_1,\cdots,p_N)\)
- \(\{q_i,p_i\}=\delta_{ij}\)
- 해밀토니안 \(H(q,p)\)
- 운동방정식\[\dot{q}_i=\{q_i,H\}=\partial H/\partial p_i\]\[\dot{p}_i=\{q_i,H\}-\partial H/\partial q_i\]
락스 쌍
- 많은 적분가능 모형에 락스 쌍 formalism 을 적용할 수 있다
- 변수 q,p에 의존하는 두 \(N\times N\) 행렬 \(L(q,p) \) 와 \(M(q,p)\)이 락스 방정식 \(\dot{L}=\{L,M\}\) 을 만족시키면 이를 락스 쌍이라 한다
- 해밀토니안에 의한 운동방정식과 같다\[\dot{q}_i=\{q_i,H\}=\partial H/\partial p_i\]\[\dot{p}_i=\{q_i,H\}-\partial H/\partial q_i\]
- 많은 보존량을 \(\operatorname{tr}(L^p)\) 의 형태로 얻을 수 있다\[\frac{d}{dt}\operatorname{tr}(L^p)=\operatorname{tr}(p [L,M]L^{p-1})=p\operatorname{tr}(LML^{p-1}-ML^{p})=0\] 따라서 \(\operatorname{tr}(L^p)\) 는 보존량이 된다
isospectral deformation
- L is an isospectral deformation of L(0) if L(t) has the same eigenvalues for all t
- \(L(t)v(t)=\lambda v(t)\)
- Record their derivative by a matrix\[v'(t)=B(t)v(t)\]
- Differentiate \(L(t)v(t)=\lambda v(t)\)\[L'(t)v(t)+L(t)v'(t)=\lambda v'(t)\]\[L'(t)v(t)+L(t)B(t)v(t)=\lambda B(t)v(t)=B(t)L(t)v(t)\]\[L'(t)v(t)=[B(t),L(t)]v(t)\]\[L'(t)=[B(t),L(t)]\]
- So B(t) and L(t) are a Lax pair
예: 토다 격자 (toda lattice)
예: 코테베그-드 브리스 방정식(KdV equation)
- 다음 두 Sturm-Liouville operator 연산자를 정의하자
- \(L=\partial^2+u\)
- \(B=\partial_{x}^3+\frac{3}{2}u\partial_{x}+\frac{3}{4}u_{x}\)
- \(\dot{L}=[L,B]\) 가 성립할 조건은 \(u_t=\frac{1}{4}u_{xxx}+\frac{3}{2}uu_x\) 와 동치이다
- 코테베그-드 브리스 방정식(KdV equation) 을 얻는다
예 : 사인-고든 방정식
- 적당한 함수 u(t,x)에 대하여, 두 행렬U, V 을 다음과 같이 정의하자\[U=\left( \begin{array}{cc} -4 & 2 i u^{(0,1)}(t,x) \\ -2 i u^{(0,1)}(t,x) & 4 \end{array} \right)\], \(V=\left( \begin{array}{cc} -\frac{1}{4} i \cos (u(t,x)) & \frac{1}{4} i u^{(1,1)}(t,x) \\ \frac{1}{4} i u^{(1,1)}(t,x) & \frac{1}{4} i \cos (u(t,x)) \end{array} \right)\)
- 두 미분연산자 \(L=4i \partial_{x} + U\)와 \(M=V\) 가 락스 쌍이 되려면, \(u_x=0\) 이거나 \(\sin (u(t,x))=u^{(1,1)}(t,x)\)
- 사인-고든 방정식
Lax pairs with spectral parameters
- spectral curve\[\{(k,z)\in\mathbb{C}\times\mathbb{C}:\det(kI-L(z))=0\}\]
- 대수 곡선이 된다
- 각 점 \((k,z)\) 에 대한 벡터공간 \(\operatorname{ker}(kI-L(z))=0\) 을 통해여, 곡선에 대한 line bundle을 얻는다
- for examples, look at Introduction to classical integrable systems, chapter 3 http://goo.gl/LaawC
- integrals of motion\[\operatorname{tr} L(z)=\sum_{n}L_{n}z^{n} \]
역사
메모
- Does the existence of a Lax pair imply integrability?
- http://iopscience.iop.org/0266-5611/25/12/123007
- Curves and Lax pairs -many examples
관련된 항목들
사전 형태의 자료
- http://en.wikipedia.org/wiki/Lax_pair
- http://en.wikipedia.org/wiki/Liouville's_theorem_(Hamiltonian)
- http://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_bracket
관련논문
- Izosimov, Anton. “Singularities of Integrable Systems and Nodal Curves.” arXiv:1408.4844 [math-Ph, Physics:nlin], August 20, 2014. http://arxiv.org/abs/1408.4844.
- How to find the Lax pair from the Yang-Baxter equation M. Q. Zhang, 1991
메타데이터
위키데이터
- ID : Q4115796
Spacy 패턴 목록
- [{'LOWER': 'lax'}, {'LEMMA': 'pair'}]