"단항 대칭 다항식 (monomial symmetric polynomial)"의 두 판 사이의 차이

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==개요==
 
==개요==
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* 분할 $\lambda=(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n)$에 대응되는 단항 대칭 다항식 $m_{\lambda}$은 단항식 $x_1^{\lambda_1}x_2^{\lambda_2}\cdots x_n^{\lambda_n}$과 $(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n)$의 서로 다른 순열로부터 얻어지는 단항식들의 합으로 주어진다
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* 대칭다항식의 예
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* $\lambda=(2,1,1)$이면 $m_{\lambda}=x_1^2x_2x_3+x_1x_2^2x_3+x_1x_2x_3^2$
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==정의==
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* 변수의 개수 <math>n</math>과 <math>d</math>의 (0을 허용하며, 크기가 <math>n</math>인) 분할(partition) <math>\lambda</math>가 주어지면 <math>d</math>차 다항식 <math> m_\lambda(x_1,\ldots,x_n)</math> 이 결정된다
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** 분할 <math>\lambda</math>의 크기가 <math>n</math>보다 큰 경우, <math>m_{\lambda}=0</math>
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* <math>d</math>의 (크기가 <math>n</math>인) 분할 :<math>\lambda: \lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \cdots \geq \lambda_n\geq 0</math>
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* 다음과 같이 <math>n\times n</math> 행렬의 행렬식으로 두 다항식을 정의하자
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* 단항 대칭 다항식은 다음과 같이 정의된다
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:<math>m_{\lambda} = \sum_{\alpha}\mathbb{x}^{\alpha}</math>
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여기서 합은 <math>\lambda=(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n)</math>의 서로 다른 순열 (permutation) <math>\alpha=(\alpha_1,\cdots, \alpha_n)</math>에 대하여 행하며, <math>\mathbb{x}^{\alpha}=x_1^{\lambda_1}x_2^{\lambda_2}\cdots x_n^{\lambda_n}</math>
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==예==
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===변수의 개수가 3이고, 2의 분할인 경우===
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\lambda & m_{\lambda } \\
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\{2\} & x_1^2+x_2^2+x_3^2 \\
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\{1,1\} & x_1 x_2+x_3 x_2+x_1 x_3 \\
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===변수의 개수가 3이고, 4의 분할인 경우===
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:<math>
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\begin{array}{c|c}
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\lambda & m_{\lambda } \\
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\hline
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\{4\} & x_1^4+x_2^4+x_3^4 \\
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\{3,1\} & x_2 x_1^3+x_3 x_1^3+x_2^3 x_1+x_3^3 x_1+x_2 x_3^3+x_2^3 x_3 \\
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\{2,2\} & x_1^2 x_2^2+x_3^2 x_2^2+x_1^2 x_3^2 \\
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\{2,1,1\} & x_2 x_3 x_1^2+x_2 x_3^2 x_1+x_2^2 x_3 x_1 \\
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\{1,1,1,1\} & 0 \\
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==계산 리소스==
 
==계산 리소스==
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* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxWXhwZWJ6SXBJYnc/edit
 
* http://www.sagemath.org/doc/reference/sage/combinat/sf/monomial.html
 
* http://www.sagemath.org/doc/reference/sage/combinat/sf/monomial.html
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[[분류:대칭다항식]]

2020년 11월 16일 (월) 04:10 기준 최신판

개요

  • 대칭다항식의 예


정의

  • 변수의 개수 \(n\)과 \(d\)의 (0을 허용하며, 크기가 \(n\)인) 분할(partition) \(\lambda\)가 주어지면 \(d\)차 다항식 \( m_\lambda(x_1,\ldots,x_n)\) 이 결정된다
    • 분할 \(\lambda\)의 크기가 \(n\)보다 큰 경우, \(m_{\lambda}=0\)
  • \(d\)의 (크기가 \(n\)인) 분할 \[\lambda: \lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \cdots \geq \lambda_n\geq 0\]
  • 다음과 같이 \(n\times n\) 행렬의 행렬식으로 두 다항식을 정의하자
  • 단항 대칭 다항식은 다음과 같이 정의된다

\[m_{\lambda} = \sum_{\alpha}\mathbb{x}^{\alpha}\] 여기서 합은 \(\lambda=(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n)\)의 서로 다른 순열 (permutation) \(\alpha=(\alpha_1,\cdots, \alpha_n)\)에 대하여 행하며, \(\mathbb{x}^{\alpha}=x_1^{\lambda_1}x_2^{\lambda_2}\cdots x_n^{\lambda_n}\)


예

변수의 개수가 3이고, 2의 분할인 경우

\[ \begin{array}{c|c} \lambda & m_{\lambda } \\ \hline \{2\} & x_1^2+x_2^2+x_3^2 \\ \{1,1\} & x_1 x_2+x_3 x_2+x_1 x_3 \\ \end{array} \]


변수의 개수가 3이고, 4의 분할인 경우

\[ \begin{array}{c|c} \lambda & m_{\lambda } \\ \hline \{4\} & x_1^4+x_2^4+x_3^4 \\ \{3,1\} & x_2 x_1^3+x_3 x_1^3+x_2^3 x_1+x_3^3 x_1+x_2 x_3^3+x_2^3 x_3 \\ \{2,2\} & x_1^2 x_2^2+x_3^2 x_2^2+x_1^2 x_3^2 \\ \{2,1,1\} & x_2 x_3 x_1^2+x_2 x_3^2 x_1+x_2^2 x_3 x_1 \\ \{1,1,1,1\} & 0 \\ \end{array} \]


관련된 항목들


계산 리소스

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