"고전 케플러-쿨롱 시스템"의 두 판 사이의 차이

2021년 2월 17일 (수) 02:20 기준 최신판

개요

행성운동을 기술하는 해밀토니안 시스템
고전역학에서의 적분가능 모형의 예
\(\mathbf{p}=(p_1,p_2,p_3), \mathbf{q}=(q_1,q_2,q_3)\)
해밀토니안은 다음과 같이 주어진다

\[ H_0(\mathbf{q},\mathbf{p})=\frac{1}{2}p^2-\frac{1}{q}=\frac{1}{2} \left(p_1^2+p_2^2+p_3^2\right)-\frac{1}{\sqrt{q_1^2+q_2^2+q_3^2}} \] 여기서 \(p=|\mathbf{p}|,q=|\mathbf{q}|\)

보존량

보존량 : 에너지 \(H_0\), 각운동량 \(\mathbf{G}\), 룽게-렌츠 벡터 \(\mathbf{E}\)

\[ \begin{aligned} H_0 &=\frac{1}{2} \left(p_1^2+p_2^2+p_3^2\right)-\frac{1}{\sqrt{q_1^2+q_2^2+q_3^2}} \\ \mathbf{G}&=\mathbf{q}\times \mathbf{p}=(p_3 q_2-p_2 q_3,p_1 q_3-p_3 q_1,p_2 q_1-p_1 q_2) \\ \mathbf{E}&=\mathbf{p}\times \mathbf{G}-\frac{\mathbf{q}}{q}\\ &=(p_2^2 q_1-p_1 p_2 q_2+p_3^2 q_1-p_1 p_3 q_3-\frac{q_1}{\sqrt{q_1^2+q_2^2+q_3^2}},p_1^2 q_2-p_2 p_1 q_1+p_3^2 q_2-p_2 p_3 q_3-\frac{q_2}{\sqrt{q_1^2+q_2^2+q_3^2}},p_1^2 q_3-p_3 p_1 q_1-p_2 p_3 q_2+p_2^2 q_3-\frac{q_3}{\sqrt{q_1^2+q_2^2+q_3^2}}) \end{aligned} \]

보존량 사이에 다음의 관계가 성립한다

\[ \mathbf{G}\cdot\mathbf{E}=0 \\ E^2-1=2H_0G^2 \]

궤도의 방정식

\(\theta\)를 위치벡터 \(\mathbf{q}=\mathbf{q}(\theta)\)와 룽게-렌츠 벡터 \(\mathbf{E}\)가 이루는 각도라 두면, 다음이 성립한다

\[ \mathbf{q}\cdot \mathbf{E}=|\mathbf{q}||\mathbf{E}|=q E \cos \theta \label{orb} \]

\ref{orb}의 좌변은 다음과 같다

\[ \begin{aligned} \mathbf{q}\cdot \mathbf{E}&=\mathbf{q} \cdot (\mathbf{p}\times \mathbf{G}-\frac{\mathbf{q}}{q})\\ &= \mathbf{G} \cdot (\mathbf{q}\times \mathbf{p})-\frac{\mathbf{q}\cdot \mathbf{q}}{q}) \\ &= G^2-q \end{aligned} \]

따라서 다음을 얻는다

\[ q E\cos \theta=G^2-q \] 즉, \[ q(\theta)=\frac{G^2}{1+E\cos \theta} \]

이로부터 \(0<E<1\)일 때, 타원궤도를 얻는다

메모

\(\vec{A} = \left(p \times L\right) - m k\cdot \frac{\mathbf{r}}{r}\)
http://physics.stackexchange.com/questions/tagged/runge-lenz-vector
http://analyticphysics.com/Runge%20Vector/The%20Symmetry%20Corresponding%20to%20the%20Runge%20Vector.htm

매스매티카 파일 및 계산 리소스

https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxTG9TSVdTYk8zdDg/edit

수학용어번역

Runge - 발음사전 Forvo
Lenz - 발음사전 Forvo

사전 형태의 자료

http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace–Runge–Lenz_vector

리뷰, 에세이, 강의노트

Ochkov, Valery, and Katarina Pisačić. “Motion of the Planets: The Calculation and Visualization in Mathcad.” arXiv:1504.07964 [physics], March 31, 2015. http://arxiv.org/abs/1504.07964.
The symmetries of the Kepler problem
Cordani, Bruno. ‘The Kepler Problem’. In Geography of Order and Chaos in Mechanics, 175–209. Progress in Mathematical Physics 64. Springer New York, 2013. http://link.springer.com.ezproxy.library.uq.edu.au/chapter/10.1007/978-0-8176-8370-2_6.

메타데이터

위키데이터

ID : Q44481

Spacy 패턴 목록

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+==개요==
+* 행성운동을 기술하는 해밀토니안 시스템
+* [[고전역학에서의 적분가능 모형]]의 예
+* <math>\mathbf{p}=(p_1,p_2,p_3), \mathbf{q}=(q_1,q_2,q_3)</math>
+* 해밀토니안은 다음과 같이 주어진다
+:<math>
+H_0(\mathbf{q},\mathbf{p})=\frac{1}{2}p^2-\frac{1}{q}=\frac{1}{2} \left(p_1^2+p_2^2+p_3^2\right)-\frac{1}{\sqrt{q_1^2+q_2^2+q_3^2}}
+</math>
+여기서 <math>p=|\mathbf{p}|,q=|\mathbf{q}|</math>
+==보존량==
+* 보존량 : 에너지 <math>H_0</math>, 각운동량 <math>\mathbf{G}</math>, 룽게-렌츠 벡터 <math>\mathbf{E}</math>
+:<math>
+\begin{aligned}
+H_0 &=\frac{1}{2} \left(p_1^2+p_2^2+p_3^2\right)-\frac{1}{\sqrt{q_1^2+q_2^2+q_3^2}}  \\
+\mathbf{G}&=\mathbf{q}\times \mathbf{p}=(p_3 q_2-p_2 q_3,p_1 q_3-p_3 q_1,p_2 q_1-p_1 q_2) \\
+\mathbf{E}&=\mathbf{p}\times \mathbf{G}-\frac{\mathbf{q}}{q}\\
+&=(p_2^2 q_1-p_1 p_2 q_2+p_3^2 q_1-p_1 p_3 q_3-\frac{q_1}{\sqrt{q_1^2+q_2^2+q_3^2}},p_1^2 q_2-p_2 p_1 q_1+p_3^2 q_2-p_2 p_3 q_3-\frac{q_2}{\sqrt{q_1^2+q_2^2+q_3^2}},p_1^2 q_3-p_3 p_1 q_1-p_2 p_3 q_2+p_2^2 q_3-\frac{q_3}{\sqrt{q_1^2+q_2^2+q_3^2}})
+\end{aligned}
+</math>
+* 보존량 사이에 다음의 관계가 성립한다
+:<math>
+\mathbf{G}\cdot\mathbf{E}=0 \\
+E^2-1=2H_0G^2
+</math>
+==궤도의 방정식==
+* <math>\theta</math>를 위치벡터 <math>\mathbf{q}=\mathbf{q}(\theta)</math>와 룽게-렌츠 벡터 <math>\mathbf{E}</math>가 이루는 각도라 두면, 다음이 성립한다
+:<math>
+\mathbf{q}\cdot \mathbf{E}=|\mathbf{q}||\mathbf{E}|=q E \cos \theta \label{orb}
+</math>
+* \ref{orb}의 좌변은 다음과 같다
+:<math>
+\begin{aligned}
+\mathbf{q}\cdot \mathbf{E}&=\mathbf{q} \cdot (\mathbf{p}\times \mathbf{G}-\frac{\mathbf{q}}{q})\\
+&= \mathbf{G} \cdot (\mathbf{q}\times \mathbf{p})-\frac{\mathbf{q}\cdot \mathbf{q}}{q}) \\
+&= G^2-q
+\end{aligned}
+</math>
+* 따라서 다음을 얻는다
+:<math>
+q E\cos \theta=G^2-q
+</math>
+즉,
+:<math>
+q(\theta)=\frac{G^2}{1+E\cos \theta}
+</math>
+* 이로부터 <math>0<E<1</math>일 때, 타원궤도를 얻는다
 ==메모==
-* $\vec{A} = \left(p \times L\right) - m k\cdot \frac{\mathbb{r}}{r}$
+* <math>\vec{A} = \left(p \times L\right) - m k\cdot \frac{\mathbf{r}}{r}</math>
 * http://physics.stackexchange.com/questions/tagged/runge-lenz-vector
 * http://analyticphysics.com/Runge%20Vector/The%20Symmetry%20Corresponding%20to%20the%20Runge%20Vector.htm
+==관련된 항목들==
+* [[케플러의 법칙, 행성운동과 타원]]
+* [[양자 케플러-쿨롱 시스템]]
+* [[중심력장과 궤도]]
+* [[삼체 문제]]
+==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
+* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxTG9TSVdTYk8zdDg/edit
+==수학용어번역==
+* {{forvo|url=Runge}}
+* {{forvo|url=Lenz}}
+==사전 형태의 자료==
+* http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace–Runge–Lenz_vector
 ==리뷰, 에세이, 강의노트==
+* Ochkov, Valery, and Katarina Pisačić. “Motion of the Planets: The Calculation and Visualization in Mathcad.” arXiv:1504.07964 [physics], March 31, 2015. http://arxiv.org/abs/1504.07964.
 * [http://www.science.uva.nl/onderwijs/thesis/centraal/files/f296738066.pdf The symmetries of the Kepler problem]
 * Cordani, Bruno. ‘The Kepler Problem’. In Geography of Order and Chaos in Mechanics, 175–209. Progress in Mathematical Physics 64. Springer New York, 2013. http://link.springer.com.ezproxy.library.uq.edu.au/chapter/10.1007/978-0-8176-8370-2_6.
+==관련논문==
+* Yu. A. Kurochkin, V. S. Otchik, L. G. Mardoyan, D. R. Petrosyan, G. S. Pogosyan, Kepler motion on single-sheet hyperboloid, arXiv:1603.08139[math-ph], March 26 2016, http://arxiv.org/abs/1603.08139v1
+* Anco, Stephen C., Tyler Meadows, and Vincent Pascuzzi. “Some New Aspects of First Integrals and Symmetries for Central Force Dynamics.” arXiv:1508.07258 [math-Ph], August 28, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.07258.
+* Cariglia, Marco. “Conformal Triality of the Kepler Problem.” arXiv:1508.03408 [gr-Qc, Physics:hep-Th, Physics:math-Ph], August 13, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.03408.
+* Keane, Aidan J., Richard K. Barrett, and John F. L. Simmons. ‘The Classical Kepler Problem and Geodesic Motion on Spaces of Constant Curvature’. Journal of Mathematical Physics 41, no. 12 (2000): 8108. doi:10.1063/1.1324652.
-==사전 형태의 자료==
-* http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace–Runge–Lenz_vector
 [[분류:수리물리학]]
 [[분류:적분가능모형]]
+==메타데이터==
+===위키데이터===
+* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q44481 Q44481]
+===Spacy 패턴 목록===
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