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Pythagoras0 (토론 | 기여) (새 문서: ==개요== ;정리 (리우빌,1844) 무리수이면서 차수가 d인 대수적수 <math>\alpha</math> 와 임의의 양수 <math>\epsilon>0</math>에 대하여, 부등식 :<math> \ve...) |
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:<math>c = \sum_{j=1}^\infty 10^{-j!} = 0.110001000000000000000001000\ldots</math> | :<math>c = \sum_{j=1}^\infty 10^{-j!} = 0.110001000000000000000001000\ldots</math> | ||
* 다음과 같은 정수열을 정의하자 | * 다음과 같은 정수열을 정의하자 | ||
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* 다음의 부등식이 성립한다 | * 다음의 부등식이 성립한다 | ||
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==관련논문== | ==관련논문== | ||
* Schleischitz, Johannes. “On a Problem Posed by Mahler.” arXiv:1501.02731 [math], January 12, 2015. http://arxiv.org/abs/1501.02731. | * Schleischitz, Johannes. “On a Problem Posed by Mahler.” arXiv:1501.02731 [math], January 12, 2015. http://arxiv.org/abs/1501.02731. | ||
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2020년 11월 13일 (금) 21:42 기준 최신판
개요
- 정리 (리우빌,1844)
무리수이면서 차수가 d인 대수적수 \(\alpha\) 와 임의의 양수 \(\epsilon>0\)에 대하여, 부등식 \[ \vert \alpha - \frac{p}{q} \vert < \frac{1}{q^{d+\epsilon}}\] 의 유리수해 \(p/q\)의 개수는 유한하다
- 리우빌 정리의 또다른 버전
- 정리
무리수이면서 차수가 d인 대수적수 \(\alpha\) 에 대하여, 적당한 상수 \(c(\alpha)>0\)가 존재하여, 모든 유리수 \(p/q\)에 대하여 다음 부등식이 만족된다. \[ \vert \alpha - \frac{p}{q} \vert > \frac{c(\alpha)}{q^{d}}\]
리우빌 상수
- 이 정리를 사용하여, 리우빌 상수 c가 초월수임을 증명할 수 있다
\[c = \sum_{j=1}^\infty 10^{-j!} = 0.110001000000000000000001000\ldots\]
- 다음과 같은 정수열을 정의하자
\[p_n = \sum_{j=1}^n 10^{n! - j!}; \quad q_n = 10^{n!}\]
- 다음의 부등식이 성립한다
\[\left|c - \frac{p_n}{q_n}\right| = \sum_{j=n+1}^\infty 10^{-j!} = 10^{-(n+1)!} + 10^{-(n+2)!} + \cdots < 10\cdot10^{-(n+1)!} \le \Big(10^{-n!}\Big)^n = \frac{1}{{q_n}^n}\]
관련논문
- Schleischitz, Johannes. “On a Problem Posed by Mahler.” arXiv:1501.02731 [math], January 12, 2015. http://arxiv.org/abs/1501.02731.