"코스트카 수 (Kostka number)"의 두 판 사이의 차이
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==개요== | ==개요== | ||
− | * 코스트카 수(Kostka number) | + | * 코스트카 수(Kostka number) <math>K_{\lambda\mu}</math> : 형태가 <math>\lambda</math>이고 weight이 <math>\mu</math>인 [[영 태블로(Young tableau)|준표준 영 태블로]]의 수 |
− | + | * 군 <math>\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})</math>의 기약표현 <math>V_{\lambda}</math>에서 <math>\mu</math>를 무게(weight)로 갖는 무게 공간(weight space)의 차원 | |
− | + | * 여러 대칭 다항식 사이의 연결 계수로서 나타난다 | |
− | * 군 <math>\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})</math>의 기약표현 | ||
− | == | + | ==연결 계수== |
− | * | + | * <math>\Lambda_d</math> : <math>n</math>개의 변수 <math>\mathbb{x}=(x_1,\cdots,x_n)</math>을 갖는 <math>d</math>차의 대칭 다항식이 이루는 벡터 공간 |
− | \begin{array}{c|c} | + | * <math>n\geq d</math>이면, <math>\dim\Lambda_d=p(d)</math>. 여기서 <math>p(\cdot)</math>은 [[자연수의 분할수(integer partitions)]] |
− | \lambda & s_{\lambda } \\ | + | * [[슈르 다항식(Schur polynomial)]] <math>s_{\lambda}(\mathbb{x})</math> 을 [[단항 대칭 다항식 (monomial symmetric polynomial)]] <math>m_{\mu}(\mathbb{x})</math>의 선형결합으로 표현할 때 다음을 얻는다 |
+ | : <math>s_\lambda(\mathbb{x})= \sum_\mu K_{\lambda\mu}m_\mu(\mathbb{x}).\ </math> | ||
+ | * [[완전 동차 대칭 다항식 (complete homogeneous symmetric polynomial)]] <math>h_{\mu}(\mathbb{x})</math> 을 [[슈르 다항식(Schur polynomial)]] <math>s_{\lambda}(\mathbb{x})</math>의 선형결합으로 표현할 때 다음을 얻는다 | ||
+ | : <math>h_\mu(\mathbb{x})= \sum_\lambda K_{\lambda\mu}s_\mu(\mathbb{x}).\ </math> | ||
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+ | ==<math>n=3,d=4</math>의 예== | ||
+ | ===슈르 다항식과 단항 대칭 다항식=== | ||
+ | * 슈르 다항식 <math>s_{\lambda}</math>와 단항 대칭 다항식 <math>m_{\lambda}</math>는 다음과 같은 표로 주어진다 | ||
+ | \begin{array}{c|c|c} | ||
+ | \lambda & s_{\lambda } & m_{\lambda } \\ | ||
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− | + | (4) & x_1^4+x_2 x_1^3+x_3 x_1^3+x_2^2 x_1^2+x_3^2 x_1^2+x_2 x_3 x_1^2+x_2^3 x_1+x_3^3 x_1+x_2 x_3^2 x_1+x_2^2 x_3 x_1+x_2^4+x_3^4+x_2 x_3^3+x_2^2 x_3^2+x_2^3 x_3 & x_1^4+x_2^4+x_3^4 \\ | |
− | + | (3,1) & x_2 x_1^3+x_3 x_1^3+x_2^2 x_1^2+x_3^2 x_1^2+2 x_2 x_3 x_1^2+x_2^3 x_1+x_3^3 x_1+2 x_2 x_3^2 x_1+2 x_2^2 x_3 x_1+x_2 x_3^3+x_2^2 x_3^2+x_2^3 x_3 & x_2 x_1^3+x_3 x_1^3+x_2^3 x_1+x_3^3 x_1+x_2 x_3^3+x_2^3 x_3 \\ | |
− | + | (2,2) & x_2^2 x_1^2+x_3^2 x_1^2+x_2 x_3 x_1^2+x_2 x_3^2 x_1+x_2^2 x_3 x_1+x_2^2 x_3^2 & x_1^2 x_2^2+x_3^2 x_2^2+x_1^2 x_3^2 \\ | |
− | + | (2,1,1) & x_2 x_3 x_1^2+x_2 x_3^2 x_1+x_2^2 x_3 x_1 & x_2 x_3 x_1^2+x_2 x_3^2 x_1+x_2^2 x_3 x_1 \\ | |
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+ | ===코스트카 수의 계산=== | ||
+ | :<math> | ||
\begin{align} | \begin{align} | ||
− | s_{\ | + | s_{(4)}(x_1,x_2,x_3) & =x_1^4+x_2 x_1^3+x_3 x_1^3+x_2^2 x_1^2+x_3^2 x_1^2+x_2 x_3 x_1^2+x_2^3 x_1+x_3^3 x_1+x_2 x_3^2 x_1+x_2^2 x_3 x_1+x_2^4+x_3^4+x_2 x_3^3+x_2^2 x_3^2+x_2^3 x_3 \\ |
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+ | s_{(3,1)}(x_1,x_2,x_3) & =x_1^3 x_2+x_1^2 x_2^2+x_1 x_2^3+x_1^3 x_3+2 x_1^2 x_2 x_3+2 x_1 x_2^2 x_3+x_2^3 x_3+x_1^2 x_3^2+2 x_1 x_2 x_3^2+x_2^2 x_3^2+x_1 x_3^3+x_2 x_3^3 \\ | ||
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+ | |||
+ | s_{(2,2)}(x_1,x_2,x_3) & = x_2^2 x_1^2+x_3^2 x_1^2+x_2 x_3 x_1^2+x_2 x_3^2 x_1+x_2^2 x_3 x_1+x_2^2 x_3^2 \\ | ||
+ | & =(x_1^2 x_2^2+x_1^2 x_3^2+x_2^2 x_3^2)+(x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_1 x_2 x_3^2)\\ | ||
+ | & = m_{(2,2,0)}(x_1,x_2,x_3)+m_{(2,1,1)}(x_1,x_2,x_3) \\ | ||
+ | |||
+ | s_{(2,1,1)}(x_1,x_2,x_3) & = x_2 x_3 x_1^2+x_2 x_3^2 x_1+x_2^2 x_3 x_1 \\ | ||
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+ | & = m_{(2,1,1)}(x_1,x_2,x_3) | ||
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+ | \begin{array}{c|cccc} | ||
+ | \lambda\backslash \mu & (4) & (3,1) & (2,2) & (2,1,1) \\ | ||
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+ | (4) & 1 & 1 & 1 & 1 \\ | ||
+ | (3,1) & 0 & 1 & 1 & 2 \\ | ||
+ | (2,2) & 0 & 0 & 1 & 1 \\ | ||
+ | (2,1,1) & 0 & 0 & 0 & 1 \\ | ||
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==테이블== | ==테이블== | ||
− | === | + | * <math>n\geq d</math>를 가정하면, 코스트카 수 <math>K_{\lambda,\mu}</math>는 <math>n</math>에 의존하지 않고, <math>d</math>에만 의존 |
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\text{} & \{1\} \\ | \text{} & \{1\} \\ | ||
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\text{} & \{2\} & \{1,1\} \\ | \text{} & \{2\} & \{1,1\} \\ | ||
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− | + | ===<math>d=3</math>=== | |
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\begin{array}{c|ccc} | \begin{array}{c|ccc} | ||
\text{} & \{3\} & \{2,1\} & \{1,1,1\} \\ | \text{} & \{3\} & \{2,1\} & \{1,1,1\} \\ | ||
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− | === | + | ===<math>d=4</math>=== |
\begin{array}{c|cccc} | \begin{array}{c|cccc} | ||
\text{} & \{4\} & \{3,1\} & \{2,2\} & \{2,1,1\} & \{1,1,1,1\} \\ | \text{} & \{4\} & \{3,1\} & \{2,2\} & \{2,1,1\} & \{1,1,1,1\} \\ | ||
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− | === | + | ===<math>d=5</math>=== |
\begin{array}{c|ccccccc} | \begin{array}{c|ccccccc} | ||
\text{} & \{5\} & \{4,1\} & \{3,2\} & \{3,1,1\} & \{2,2,1\} & \{2,1,1,1\} & \{1,1,1,1,1\} \\ | \text{} & \{5\} & \{4,1\} & \{3,2\} & \{3,1,1\} & \{2,2,1\} & \{2,1,1,1\} & \{1,1,1,1,1\} \\ | ||
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\end{array} | \end{array} | ||
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+ | ===<math>d=6</math>=== | ||
+ | \begin{array}{c|ccccccccccc} | ||
+ | \text{} & \{6\} & \{5,1\} & \{4,2\} & \{4,1,1\} & \{3,3\} & \{3,2,1\} & \{3,1,1,1\} & \{2,2,2\} & \{2,2,1,1\} & \{2,1,1,1,1\} & \{1,1,1,1,1,1\} \\ | ||
+ | \hline | ||
+ | \{6\} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ | ||
+ | \{5,1\} & 0 & 1 & 1 & 2 & 1 & 2 & 3 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ | ||
+ | \{4,2\} & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 2 & 3 & 3 & 4 & 6 & 9 \\ | ||
+ | \{4,1,1\} & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 3 & 1 & 3 & 6 & 10 \\ | ||
+ | \{3,3\} & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 2 & 3 & 5 \\ | ||
+ | \{3,2,1\} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 2 & 4 & 8 & 16 \\ | ||
+ | \{3,1,1,1\} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 4 & 10 \\ | ||
+ | \{2,2,2\} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 2 & 5 \\ | ||
+ | \{2,2,1,1\} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 3 & 9 \\ | ||
+ | \{2,1,1,1,1\} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 5 \\ | ||
+ | \{1,1,1,1,1,1\} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ | ||
+ | \end{array} | ||
==메모== | ==메모== | ||
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==관련논문== | ==관련논문== | ||
+ | * Minwon Na, A bijective proof of Vershik's relations for the Kostka numbers, arXiv:1601.00385 [math.CO], January 04 2016, http://arxiv.org/abs/1601.00385 | ||
* Kirillov, Anatol N., Anne Schilling, and Mark Shimozono. 1999. “Various Representations of the Generalized Kostka Polynomials.” Séminaire Lotharingien de Combinatoire 42: Art. B42j, 19 pp. (electronic). http://www.emis.de/journals/SLC/wpapers/s42schil.pdf | * Kirillov, Anatol N., Anne Schilling, and Mark Shimozono. 1999. “Various Representations of the Generalized Kostka Polynomials.” Séminaire Lotharingien de Combinatoire 42: Art. B42j, 19 pp. (electronic). http://www.emis.de/journals/SLC/wpapers/s42schil.pdf | ||
[[분류:대칭다항식]] | [[분류:대칭다항식]] |
2020년 11월 14일 (토) 01:13 기준 최신판
개요
- 코스트카 수(Kostka number) \(K_{\lambda\mu}\) : 형태가 \(\lambda\)이고 weight이 \(\mu\)인 준표준 영 태블로의 수
- 군 \(\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})\)의 기약표현 \(V_{\lambda}\)에서 \(\mu\)를 무게(weight)로 갖는 무게 공간(weight space)의 차원
- 여러 대칭 다항식 사이의 연결 계수로서 나타난다
연결 계수
- \(\Lambda_d\) \[n\]개의 변수 \(\mathbb{x}=(x_1,\cdots,x_n)\)을 갖는 \(d\)차의 대칭 다항식이 이루는 벡터 공간
- \(n\geq d\)이면, \(\dim\Lambda_d=p(d)\). 여기서 \(p(\cdot)\)은 자연수의 분할수(integer partitions)
- 슈르 다항식(Schur polynomial) \(s_{\lambda}(\mathbb{x})\) 을 단항 대칭 다항식 (monomial symmetric polynomial) \(m_{\mu}(\mathbb{x})\)의 선형결합으로 표현할 때 다음을 얻는다
\[s_\lambda(\mathbb{x})= \sum_\mu K_{\lambda\mu}m_\mu(\mathbb{x}).\ \]
- 완전 동차 대칭 다항식 (complete homogeneous symmetric polynomial) \(h_{\mu}(\mathbb{x})\) 을 슈르 다항식(Schur polynomial) \(s_{\lambda}(\mathbb{x})\)의 선형결합으로 표현할 때 다음을 얻는다
\[h_\mu(\mathbb{x})= \sum_\lambda K_{\lambda\mu}s_\mu(\mathbb{x}).\ \]
\(n=3,d=4\)의 예
슈르 다항식과 단항 대칭 다항식
- 슈르 다항식 \(s_{\lambda}\)와 단항 대칭 다항식 \(m_{\lambda}\)는 다음과 같은 표로 주어진다
\begin{array}{c|c|c} \lambda & s_{\lambda } & m_{\lambda } \\ \hline (4) & x_1^4+x_2 x_1^3+x_3 x_1^3+x_2^2 x_1^2+x_3^2 x_1^2+x_2 x_3 x_1^2+x_2^3 x_1+x_3^3 x_1+x_2 x_3^2 x_1+x_2^2 x_3 x_1+x_2^4+x_3^4+x_2 x_3^3+x_2^2 x_3^2+x_2^3 x_3 & x_1^4+x_2^4+x_3^4 \\ (3,1) & x_2 x_1^3+x_3 x_1^3+x_2^2 x_1^2+x_3^2 x_1^2+2 x_2 x_3 x_1^2+x_2^3 x_1+x_3^3 x_1+2 x_2 x_3^2 x_1+2 x_2^2 x_3 x_1+x_2 x_3^3+x_2^2 x_3^2+x_2^3 x_3 & x_2 x_1^3+x_3 x_1^3+x_2^3 x_1+x_3^3 x_1+x_2 x_3^3+x_2^3 x_3 \\ (2,2) & x_2^2 x_1^2+x_3^2 x_1^2+x_2 x_3 x_1^2+x_2 x_3^2 x_1+x_2^2 x_3 x_1+x_2^2 x_3^2 & x_1^2 x_2^2+x_3^2 x_2^2+x_1^2 x_3^2 \\ (2,1,1) & x_2 x_3 x_1^2+x_2 x_3^2 x_1+x_2^2 x_3 x_1 & x_2 x_3 x_1^2+x_2 x_3^2 x_1+x_2^2 x_3 x_1 \\ (1,1,1,1) & 0 & 0 \\ \end{array}
코스트카 수의 계산
\[ \begin{align} s_{(4)}(x_1,x_2,x_3) & =x_1^4+x_2 x_1^3+x_3 x_1^3+x_2^2 x_1^2+x_3^2 x_1^2+x_2 x_3 x_1^2+x_2^3 x_1+x_3^3 x_1+x_2 x_3^2 x_1+x_2^2 x_3 x_1+x_2^4+x_3^4+x_2 x_3^3+x_2^2 x_3^2+x_2^3 x_3 \\ & = (x_1^4+x_2^4+x_3^4)+(x_2 x_1^3+x_3 x_1^3+x_2^3 x_1+x_3^3 x_1+x_2 x_3^3+x_2^3 x_3)+(x_1^2 x_2^2+x_3^2 x_2^2+x_1^2 x_3^2)+(x_2 x_3 x_1^2+x_2 x_3^2 x_1+x_2^2 x_3 x_1)\\ & = m_{(4)}(x_1,x_2,x_3)+m_{(3,1)}(x_1,x_2,x_3)+m_{(2,2)}(x_1,x_2,x_3)+m_{(2,1,1)}(x_1,x_2,x_3) \\ s_{(3,1)}(x_1,x_2,x_3) & =x_1^3 x_2+x_1^2 x_2^2+x_1 x_2^3+x_1^3 x_3+2 x_1^2 x_2 x_3+2 x_1 x_2^2 x_3+x_2^3 x_3+x_1^2 x_3^2+2 x_1 x_2 x_3^2+x_2^2 x_3^2+x_1 x_3^3+x_2 x_3^3 \\ & = (x_1^3 x_2+x_1 x_2^3+x_1^3 x_3+x_2^3 x_3+x_1 x_3^3+x_2 x_3^3)+(x_1^2 x_2^2+x_1^2 x_3^2+x_2^2 x_3^2)+2(x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_1 x_2 x_3^2)\\ & = m_{(3,1)}(x_1,x_2,x_3)+m_{(2,2)}(x_1,x_2,x_3)+2m_{(2,1,1)}(x_1,x_2,x_3) \\ s_{(2,2)}(x_1,x_2,x_3) & = x_2^2 x_1^2+x_3^2 x_1^2+x_2 x_3 x_1^2+x_2 x_3^2 x_1+x_2^2 x_3 x_1+x_2^2 x_3^2 \\ & =(x_1^2 x_2^2+x_1^2 x_3^2+x_2^2 x_3^2)+(x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_1 x_2 x_3^2)\\ & = m_{(2,2,0)}(x_1,x_2,x_3)+m_{(2,1,1)}(x_1,x_2,x_3) \\ s_{(2,1,1)}(x_1,x_2,x_3) & = x_2 x_3 x_1^2+x_2 x_3^2 x_1+x_2^2 x_3 x_1 \\ & =(x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_1 x_2 x_3^2)\\ & = m_{(2,1,1)}(x_1,x_2,x_3) \end{align} \]
\begin{array}{c|cccc}
\lambda\backslash \mu & (4) & (3,1) & (2,2) & (2,1,1) \\
\hline
(4) & 1 & 1 & 1 & 1 \\
(3,1) & 0 & 1 & 1 & 2 \\
(2,2) & 0 & 0 & 1 & 1 \\
(2,1,1) & 0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array}
테이블
- \(n\geq d\)를 가정하면, 코스트카 수 \(K_{\lambda,\mu}\)는 \(n\)에 의존하지 않고, \(d\)에만 의존
\(d=1\)
\begin{array}{c|c} \text{} & \{1\} \\ \hline \{1\} & 1 \\ \end{array}
\(d=2\)
\begin{array}{c|cc} \text{} & \{2\} & \{1,1\} \\ \hline \{2\} & 1 & 1 \\ \{1,1\} & 0 & 1 \\ \end{array}
\(d=3\)
\begin{array}{c|ccc} \text{} & \{3\} & \{2,1\} & \{1,1,1\} \\ \hline \{3\} & 1 & 1 & 1 \\ \{2,1\} & 0 & 1 & 2 \\ \{1,1,1\} & 0 & 0 & 1 \\ \end{array}
\(d=4\)
\begin{array}{c|cccc} \text{} & \{4\} & \{3,1\} & \{2,2\} & \{2,1,1\} & \{1,1,1,1\} \\ \hline \{4\} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \{3,1\} & 0 & 1 & 1 & 2 & 3 \\ \{2,2\} & 0 & 0 & 1 & 1 & 2 \\ \{2,1,1\} & 0 & 0 & 0 & 1 & 3 \\ \{1,1,1,1\} & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array}
\(d=5\)
\begin{array}{c|ccccccc} \text{} & \{5\} & \{4,1\} & \{3,2\} & \{3,1,1\} & \{2,2,1\} & \{2,1,1,1\} & \{1,1,1,1,1\} \\ \hline \{5\} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \{4,1\} & 0 & 1 & 1 & 2 & 2 & 3 & 4 \\ \{3,2\} & 0 & 0 & 1 & 1 & 2 & 3 & 5 \\ \{3,1,1\} & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 3 & 6 \\ \{2,2,1\} & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 5 \\ \{2,1,1,1\} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \\ \{1,1,1,1,1\} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array}
\(d=6\)
\begin{array}{c|ccccccccccc} \text{} & \{6\} & \{5,1\} & \{4,2\} & \{4,1,1\} & \{3,3\} & \{3,2,1\} & \{3,1,1,1\} & \{2,2,2\} & \{2,2,1,1\} & \{2,1,1,1,1\} & \{1,1,1,1,1,1\} \\ \hline \{6\} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \{5,1\} & 0 & 1 & 1 & 2 & 1 & 2 & 3 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \{4,2\} & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 2 & 3 & 3 & 4 & 6 & 9 \\ \{4,1,1\} & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 3 & 1 & 3 & 6 & 10 \\ \{3,3\} & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 2 & 3 & 5 \\ \{3,2,1\} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 2 & 4 & 8 & 16 \\ \{3,1,1,1\} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 4 & 10 \\ \{2,2,2\} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 2 & 5 \\ \{2,2,1,1\} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 3 & 9 \\ \{2,1,1,1,1\} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 5 \\ \{1,1,1,1,1,1\} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array}
메모
- http://www.math.cornell.edu/~rassart/pub/KLRslides.pdf
- http://math.stackexchange.com/questions/17891/why-is-a-general-formula-for-kostka-numbers-unlikely-to-exist
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
- https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxcjkzaUVqdnRnUm8/edit
- http://mathematica.stackexchange.com/questions/22852/looking-for-a-package-regarding-schur-polynomials-and-kostka-numbers
관련논문
- Minwon Na, A bijective proof of Vershik's relations for the Kostka numbers, arXiv:1601.00385 [math.CO], January 04 2016, http://arxiv.org/abs/1601.00385
- Kirillov, Anatol N., Anne Schilling, and Mark Shimozono. 1999. “Various Representations of the Generalized Kostka Polynomials.” Séminaire Lotharingien de Combinatoire 42: Art. B42j, 19 pp. (electronic). http://www.emis.de/journals/SLC/wpapers/s42schil.pdf