"나스랄라-라만 적분"의 두 판 사이의 차이

수학노트
둘러보기로 가기 검색하러 가기
 
(같은 사용자의 중간 판 6개는 보이지 않습니다)
1번째 줄: 1번째 줄:
 
==개요==
 
==개요==
 
;정리 (나스랄라-라만 Nassrallah-Rahman)
 
;정리 (나스랄라-라만 Nassrallah-Rahman)
−
복소수 $t_1, \dots ,t_5,q$가 $|t_1|, \dots , |t_5|,|q| <1$을 만족한다고 하자. 다음이 성립한다.  
+
복소수 <math>t_1, \dots ,t_5,q</math>가 <math>|t_1|, \dots , |t_5|,|q| <1</math>을 만족한다고 하자. 다음이 성립한다.  
 
\begin{equation}\label{NR}
 
\begin{equation}\label{NR}
−
\frac{(q,q)_\infty}{2} \int_{\mathbb{T}}\frac{(z \prod_{i=1}^5 t_i,q)_\infty (z^{-1} \prod_{i=1}^5 t_i,q)_\infty (z^2,q)_\infty (z^{-2},q)_\infty}{\prod_{i=1}^5 (t_i z)_\infty (t_i z^{-1})_\infty} \frac{dz}{2\pi i z} \ = \ \frac{\prod_{j=1}^5 (\frac{t_1 t_2 t_3 t_4 t_5}{t_j},q)_\infty}{\prod_{1 \leq i < j \leq 5} (t_i t_j,q)_\infty}
+
\frac{(q;q)_\infty}{2} \int_{\mathbb{T}}\frac{(z \prod_{i=1}^5 t_i;q)_\infty (z^{-1} \prod_{i=1}^5 t_i;q)_\infty (z^2;q)_\infty (z^{-2};q)_\infty}{\prod_{i=1}^5 (t_i z)_\infty (t_i z^{-1})_\infty} \frac{dz}{2\pi i z} \ = \ \frac{\prod_{j=1}^5 (\frac{t_1 t_2 t_3 t_4 t_5}{t_j};q)_\infty}{\prod_{1 \leq i < j \leq 5} (t_i t_j;q)_\infty}
 
\end{equation}
 
\end{equation}
−
여기서 $\mathbb{T}$는 단위원 (양의 방향)
+
여기서 <math>\mathbb{T}</math>는 단위원 (양의 방향)
 
* 나스랄라-라만 삼각 베타 적분 (Nassrallah-Rahman trigonometric beta integral)으로 불린다
 
* 나스랄라-라만 삼각 베타 적분 (Nassrallah-Rahman trigonometric beta integral)으로 불린다
−
* $t_1\to 0$일 때, [[애스키-윌슨 적분]]을 얻는다
+
* <math>t_1\to 0</math>일 때, [[애스키-윌슨 적분]]을 얻는다
−
* very well poised 초기하급수 $_8 \varphi _7$의 잭슨 합 공식에 대한 적분 analogue
+
* very well poised 초기하급수 <math>_8 \varphi _7</math>의 잭슨 합 공식에 대한 적분 analogue
  
−
==확장==
+
==타원 초기하 적분으로의 확장==
−
;정리 (Spiridonov).  
+
* [[타원 초기하 적분 (elliptic hypergeometric integrals)]]
−
복소수 $t_1, \dots ,t_6,p,q$가 $|t_1|, \dots , |t_6|,|p|,|q| <1$이고, $\prod_{i=1}^6 t_i=pq$을 만족한다고 하자. 다음이 성립한다.   
+
;정리 (스피리도노프 Spiridonov).  
 +
복소수 <math>t_1, \dots ,t_6,p,q</math>가 <math>|t_1|, \dots , |t_6|,|p|,|q| <1</math>이고, <math>\prod_{i=1}^6 t_i=pq</math>을 만족한다고 하자. 다음이 성립한다.   
 
\begin{equation} \label{betaint}
 
\begin{equation} \label{betaint}
 
\frac{(p;p)_\infty (q;q)_\infty}{2} \int_{\mathbb{T}} \frac{\prod_{i=1}^6 \Gamma(t_i z ;p,q)\Gamma(t_i z^{-1} ;p,q)}{\Gamma(z^{2};p,q) \Gamma(z^{-2};p,q)} \frac{dz}{2 \pi i z} = \prod_{1 \leq i < j \leq 6} \Gamma(t_i t_j;p,q),
 
\frac{(p;p)_\infty (q;q)_\infty}{2} \int_{\mathbb{T}} \frac{\prod_{i=1}^6 \Gamma(t_i z ;p,q)\Gamma(t_i z^{-1} ;p,q)}{\Gamma(z^{2};p,q) \Gamma(z^{-2};p,q)} \frac{dz}{2 \pi i z} = \prod_{1 \leq i < j \leq 6} \Gamma(t_i t_j;p,q),
 
\end{equation}
 
\end{equation}
−
여기서 $\mathbb{T}$는 단위원 (양의 방향)
+
여기서 <math>\mathbb{T}</math>는 단위원 (양의 방향)
−
* $p \rightarrow 0$일 때, \ref{NR}을 얻는다
+
* <math>p \rightarrow 0</math>일 때, \ref{NR}을 얻는다
  
 
==메모==
 
==메모==
 
* observed by Rahman  as a special case of the integral found in Nasrallah-Rahman
 
* observed by Rahman  as a special case of the integral found in Nasrallah-Rahman
−
* 나스랄라-라만 : $_8 \varphi _7$의 잭슨 합 = Spiridonov : Turaev-Frenkel
+
* 나스랄라-라만 : <math>_8 \varphi _7</math>의 잭슨 합 = Spiridonov : Turaev-Frenkel
  
−
==리뷰, 에세이, 강의노트==
 
−
* Gahramanov, Ilmar. “Mathematical Structures behind Supersymmetric Dualities.” arXiv:1505.05656 [hep-Th, Physics:math-Ph], May 21, 2015. http://arxiv.org/abs/1505.05656.
 
  
 +
 +
==관련된 항목들==
 +
* [[애스키-윌슨 적분]]
 +
 +
==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
 +
* https://drive.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxTG1KNnlNS1hpNTg/view
  
  
 
==관련논문==
 
==관련논문==
 +
* Gustafson, Robert A. “Some <math>q</math>-Beta Integrals on <math>\rm SU(n)</math> and <math>\rm Sp(n)</math> That Generalize the Askey-Wilson and Nasrallah-Rahman Integrals.” SIAM Journal on Mathematical Analysis 25, no. 2 (1994): 441–49. doi:10.1137/S0036141092248614.
 
* Gustafson, R. “Some Q-Beta and Mellin–Barnes Integrals with Many Parameters Associated to the Classical Groups.” SIAM Journal on Mathematical Analysis 23, no. 2 (March 1, 1992): 525–51. doi:10.1137/0523026.
 
* Gustafson, R. “Some Q-Beta and Mellin–Barnes Integrals with Many Parameters Associated to the Classical Groups.” SIAM Journal on Mathematical Analysis 23, no. 2 (March 1, 1992): 525–51. doi:10.1137/0523026.
 
* Nassrallah, B., and M. Rahman. “Projection Formulas, a Reproducing Kernel and a Generating Function for Q-Wilson Polynomials.” SIAM Journal on Mathematical Analysis 16, no. 1 (January 1, 1985): 186–97. doi:10.1137/0516014.
 
* Nassrallah, B., and M. Rahman. “Projection Formulas, a Reproducing Kernel and a Generating Function for Q-Wilson Polynomials.” SIAM Journal on Mathematical Analysis 16, no. 1 (January 1, 1985): 186–97. doi:10.1137/0516014.
−
* Rahman, Mizan. “An Integral Representation of a $_{10}\varphi_9$ and Continuous Bi-Orthogonal $_ {10}\varphi_9$ Rational Functions.” Canadian Journal of Mathematics 38, no. 3 (June 1, 1986): 605–18. doi:10.4153/CJM-1986-030-6.
+
* Rahman, Mizan. “An Integral Representation of a <math>_{10}\varphi_9</math> and Continuous Bi-Orthogonal <math>_ {10}\varphi_9</math> Rational Functions.” Canadian Journal of Mathematics 38, no. 3 (June 1, 1986): 605–18. doi:10.4153/CJM-1986-030-6.
 
* Askey, Richard, and James Arthur Wilson. Some basic hypergeometric orthogonal polynomials that generalize Jacobi polynomials. Vol. 319. American Mathematical Soc., 1985.
 
* Askey, Richard, and James Arthur Wilson. Some basic hypergeometric orthogonal polynomials that generalize Jacobi polynomials. Vol. 319. American Mathematical Soc., 1985.
  

2020년 11월 12일 (목) 23:10 기준 최신판

개요

정리 (나스랄라-라만 Nassrallah-Rahman)

복소수 \(t_1, \dots ,t_5,q\)가 \(|t_1|, \dots , |t_5|,|q| <1\)을 만족한다고 하자. 다음이 성립한다. \begin{equation}\label{NR} \frac{(q;q)_\infty}{2} \int_{\mathbb{T}}\frac{(z \prod_{i=1}^5 t_i;q)_\infty (z^{-1} \prod_{i=1}^5 t_i;q)_\infty (z^2;q)_\infty (z^{-2};q)_\infty}{\prod_{i=1}^5 (t_i z)_\infty (t_i z^{-1})_\infty} \frac{dz}{2\pi i z} \ = \ \frac{\prod_{j=1}^5 (\frac{t_1 t_2 t_3 t_4 t_5}{t_j};q)_\infty}{\prod_{1 \leq i < j \leq 5} (t_i t_j;q)_\infty} \end{equation} 여기서 \(\mathbb{T}\)는 단위원 (양의 방향)

  • 나스랄라-라만 삼각 베타 적분 (Nassrallah-Rahman trigonometric beta integral)으로 불린다
  • \(t_1\to 0\)일 때, 애스키-윌슨 적분을 얻는다
  • very well poised 초기하급수 \(_8 \varphi _7\)의 잭슨 합 공식에 대한 적분 analogue

타원 초기하 적분으로의 확장

정리 (스피리도노프 Spiridonov).

복소수 \(t_1, \dots ,t_6,p,q\)가 \(|t_1|, \dots , |t_6|,|p|,|q| <1\)이고, \(\prod_{i=1}^6 t_i=pq\)을 만족한다고 하자. 다음이 성립한다. \begin{equation} \label{betaint} \frac{(p;p)_\infty (q;q)_\infty}{2} \int_{\mathbb{T}} \frac{\prod_{i=1}^6 \Gamma(t_i z ;p,q)\Gamma(t_i z^{-1} ;p,q)}{\Gamma(z^{2};p,q) \Gamma(z^{-2};p,q)} \frac{dz}{2 \pi i z} = \prod_{1 \leq i < j \leq 6} \Gamma(t_i t_j;p,q), \end{equation} 여기서 \(\mathbb{T}\)는 단위원 (양의 방향)

  • \(p \rightarrow 0\)일 때, \ref{NR}을 얻는다

메모

  • observed by Rahman as a special case of the integral found in Nasrallah-Rahman
  • 나스랄라-라만 \[_8 \varphi _7\]의 잭슨 합 = Spiridonov : Turaev-Frenkel


관련된 항목들

매스매티카 파일 및 계산 리소스


관련논문

  • Gustafson, Robert A. “Some \(q\)-Beta Integrals on \(\rm SU(n)\) and \(\rm Sp(n)\) That Generalize the Askey-Wilson and Nasrallah-Rahman Integrals.” SIAM Journal on Mathematical Analysis 25, no. 2 (1994): 441–49. doi:10.1137/S0036141092248614.
  • Gustafson, R. “Some Q-Beta and Mellin–Barnes Integrals with Many Parameters Associated to the Classical Groups.” SIAM Journal on Mathematical Analysis 23, no. 2 (March 1, 1992): 525–51. doi:10.1137/0523026.
  • Nassrallah, B., and M. Rahman. “Projection Formulas, a Reproducing Kernel and a Generating Function for Q-Wilson Polynomials.” SIAM Journal on Mathematical Analysis 16, no. 1 (January 1, 1985): 186–97. doi:10.1137/0516014.
  • Rahman, Mizan. “An Integral Representation of a \(_{10}\varphi_9\) and Continuous Bi-Orthogonal \(_ {10}\varphi_9\) Rational Functions.” Canadian Journal of Mathematics 38, no. 3 (June 1, 1986): 605–18. doi:10.4153/CJM-1986-030-6.
  • Askey, Richard, and James Arthur Wilson. Some basic hypergeometric orthogonal polynomials that generalize Jacobi polynomials. Vol. 319. American Mathematical Soc., 1985.
원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=나스랄라-라만_적분&oldid=35001"