"나스랄라-라만 적분"의 두 판 사이의 차이
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\begin{equation}\label{NR} | \begin{equation}\label{NR} | ||
\frac{(q;q)_\infty}{2} \int_{\mathbb{T}}\frac{(z \prod_{i=1}^5 t_i;q)_\infty (z^{-1} \prod_{i=1}^5 t_i;q)_\infty (z^2;q)_\infty (z^{-2};q)_\infty}{\prod_{i=1}^5 (t_i z)_\infty (t_i z^{-1})_\infty} \frac{dz}{2\pi i z} \ = \ \frac{\prod_{j=1}^5 (\frac{t_1 t_2 t_3 t_4 t_5}{t_j};q)_\infty}{\prod_{1 \leq i < j \leq 5} (t_i t_j;q)_\infty} | \frac{(q;q)_\infty}{2} \int_{\mathbb{T}}\frac{(z \prod_{i=1}^5 t_i;q)_\infty (z^{-1} \prod_{i=1}^5 t_i;q)_\infty (z^2;q)_\infty (z^{-2};q)_\infty}{\prod_{i=1}^5 (t_i z)_\infty (t_i z^{-1})_\infty} \frac{dz}{2\pi i z} \ = \ \frac{\prod_{j=1}^5 (\frac{t_1 t_2 t_3 t_4 t_5}{t_j};q)_\infty}{\prod_{1 \leq i < j \leq 5} (t_i t_j;q)_\infty} | ||
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* 나스랄라-라만 삼각 베타 적분 (Nassrallah-Rahman trigonometric beta integral)으로 불린다 | * 나스랄라-라만 삼각 베타 적분 (Nassrallah-Rahman trigonometric beta integral)으로 불린다 | ||
| − | * | + | * <math>t_1\to 0</math>일 때, [[애스키-윌슨 적분]]을 얻는다 |
| − | * very well poised 초기하급수 | + | * very well poised 초기하급수 <math>_8 \varphi _7</math>의 잭슨 합 공식에 대한 적분 analogue |
==타원 초기하 적분으로의 확장== | ==타원 초기하 적분으로의 확장== | ||
* [[타원 초기하 적분 (elliptic hypergeometric integrals)]] | * [[타원 초기하 적분 (elliptic hypergeometric integrals)]] | ||
;정리 (스피리도노프 Spiridonov). | ;정리 (스피리도노프 Spiridonov). | ||
| − | 복소수 | + | 복소수 <math>t_1, \dots ,t_6,p,q</math>가 <math>|t_1|, \dots , |t_6|,|p|,|q| <1</math>이고, <math>\prod_{i=1}^6 t_i=pq</math>을 만족한다고 하자. 다음이 성립한다. |
\begin{equation} \label{betaint} | \begin{equation} \label{betaint} | ||
\frac{(p;p)_\infty (q;q)_\infty}{2} \int_{\mathbb{T}} \frac{\prod_{i=1}^6 \Gamma(t_i z ;p,q)\Gamma(t_i z^{-1} ;p,q)}{\Gamma(z^{2};p,q) \Gamma(z^{-2};p,q)} \frac{dz}{2 \pi i z} = \prod_{1 \leq i < j \leq 6} \Gamma(t_i t_j;p,q), | \frac{(p;p)_\infty (q;q)_\infty}{2} \int_{\mathbb{T}} \frac{\prod_{i=1}^6 \Gamma(t_i z ;p,q)\Gamma(t_i z^{-1} ;p,q)}{\Gamma(z^{2};p,q) \Gamma(z^{-2};p,q)} \frac{dz}{2 \pi i z} = \prod_{1 \leq i < j \leq 6} \Gamma(t_i t_j;p,q), | ||
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* observed by Rahman as a special case of the integral found in Nasrallah-Rahman | * observed by Rahman as a special case of the integral found in Nasrallah-Rahman | ||
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==관련논문== | ==관련논문== | ||
| − | * Gustafson, Robert A. “Some | + | * Gustafson, Robert A. “Some <math>q</math>-Beta Integrals on <math>\rm SU(n)</math> and <math>\rm Sp(n)</math> That Generalize the Askey-Wilson and Nasrallah-Rahman Integrals.” SIAM Journal on Mathematical Analysis 25, no. 2 (1994): 441–49. doi:10.1137/S0036141092248614. |
* Gustafson, R. “Some Q-Beta and Mellin–Barnes Integrals with Many Parameters Associated to the Classical Groups.” SIAM Journal on Mathematical Analysis 23, no. 2 (March 1, 1992): 525–51. doi:10.1137/0523026. | * Gustafson, R. “Some Q-Beta and Mellin–Barnes Integrals with Many Parameters Associated to the Classical Groups.” SIAM Journal on Mathematical Analysis 23, no. 2 (March 1, 1992): 525–51. doi:10.1137/0523026. | ||
* Nassrallah, B., and M. Rahman. “Projection Formulas, a Reproducing Kernel and a Generating Function for Q-Wilson Polynomials.” SIAM Journal on Mathematical Analysis 16, no. 1 (January 1, 1985): 186–97. doi:10.1137/0516014. | * Nassrallah, B., and M. Rahman. “Projection Formulas, a Reproducing Kernel and a Generating Function for Q-Wilson Polynomials.” SIAM Journal on Mathematical Analysis 16, no. 1 (January 1, 1985): 186–97. doi:10.1137/0516014. | ||
| − | * Rahman, Mizan. “An Integral Representation of a | + | * Rahman, Mizan. “An Integral Representation of a <math>_{10}\varphi_9</math> and Continuous Bi-Orthogonal <math>_ {10}\varphi_9</math> Rational Functions.” Canadian Journal of Mathematics 38, no. 3 (June 1, 1986): 605–18. doi:10.4153/CJM-1986-030-6. |
* Askey, Richard, and James Arthur Wilson. Some basic hypergeometric orthogonal polynomials that generalize Jacobi polynomials. Vol. 319. American Mathematical Soc., 1985. | * Askey, Richard, and James Arthur Wilson. Some basic hypergeometric orthogonal polynomials that generalize Jacobi polynomials. Vol. 319. American Mathematical Soc., 1985. | ||
2020년 11월 12일 (목) 23:10 기준 최신판
개요
- 정리 (나스랄라-라만 Nassrallah-Rahman)
복소수 \(t_1, \dots ,t_5,q\)가 \(|t_1|, \dots , |t_5|,|q| <1\)을 만족한다고 하자. 다음이 성립한다. \begin{equation}\label{NR} \frac{(q;q)_\infty}{2} \int_{\mathbb{T}}\frac{(z \prod_{i=1}^5 t_i;q)_\infty (z^{-1} \prod_{i=1}^5 t_i;q)_\infty (z^2;q)_\infty (z^{-2};q)_\infty}{\prod_{i=1}^5 (t_i z)_\infty (t_i z^{-1})_\infty} \frac{dz}{2\pi i z} \ = \ \frac{\prod_{j=1}^5 (\frac{t_1 t_2 t_3 t_4 t_5}{t_j};q)_\infty}{\prod_{1 \leq i < j \leq 5} (t_i t_j;q)_\infty} \end{equation} 여기서 \(\mathbb{T}\)는 단위원 (양의 방향)
- 나스랄라-라만 삼각 베타 적분 (Nassrallah-Rahman trigonometric beta integral)으로 불린다
- \(t_1\to 0\)일 때, 애스키-윌슨 적분을 얻는다
- very well poised 초기하급수 \(_8 \varphi _7\)의 잭슨 합 공식에 대한 적분 analogue
타원 초기하 적분으로의 확장
- 정리 (스피리도노프 Spiridonov).
복소수 \(t_1, \dots ,t_6,p,q\)가 \(|t_1|, \dots , |t_6|,|p|,|q| <1\)이고, \(\prod_{i=1}^6 t_i=pq\)을 만족한다고 하자. 다음이 성립한다. \begin{equation} \label{betaint} \frac{(p;p)_\infty (q;q)_\infty}{2} \int_{\mathbb{T}} \frac{\prod_{i=1}^6 \Gamma(t_i z ;p,q)\Gamma(t_i z^{-1} ;p,q)}{\Gamma(z^{2};p,q) \Gamma(z^{-2};p,q)} \frac{dz}{2 \pi i z} = \prod_{1 \leq i < j \leq 6} \Gamma(t_i t_j;p,q), \end{equation} 여기서 \(\mathbb{T}\)는 단위원 (양의 방향)
- \(p \rightarrow 0\)일 때, \ref{NR}을 얻는다
메모
- observed by Rahman as a special case of the integral found in Nasrallah-Rahman
- 나스랄라-라만 \[_8 \varphi _7\]의 잭슨 합 = Spiridonov : Turaev-Frenkel
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
관련논문
- Gustafson, Robert A. “Some \(q\)-Beta Integrals on \(\rm SU(n)\) and \(\rm Sp(n)\) That Generalize the Askey-Wilson and Nasrallah-Rahman Integrals.” SIAM Journal on Mathematical Analysis 25, no. 2 (1994): 441–49. doi:10.1137/S0036141092248614.
- Gustafson, R. “Some Q-Beta and Mellin–Barnes Integrals with Many Parameters Associated to the Classical Groups.” SIAM Journal on Mathematical Analysis 23, no. 2 (March 1, 1992): 525–51. doi:10.1137/0523026.
- Nassrallah, B., and M. Rahman. “Projection Formulas, a Reproducing Kernel and a Generating Function for Q-Wilson Polynomials.” SIAM Journal on Mathematical Analysis 16, no. 1 (January 1, 1985): 186–97. doi:10.1137/0516014.
- Rahman, Mizan. “An Integral Representation of a \(_{10}\varphi_9\) and Continuous Bi-Orthogonal \(_ {10}\varphi_9\) Rational Functions.” Canadian Journal of Mathematics 38, no. 3 (June 1, 1986): 605–18. doi:10.4153/CJM-1986-030-6.
- Askey, Richard, and James Arthur Wilson. Some basic hypergeometric orthogonal polynomials that generalize Jacobi polynomials. Vol. 319. American Mathematical Soc., 1985.