"가우스의 class number one 문제"의 두 판 사이의 차이

수학노트
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<h5>간단한 소개</h5>
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==개요==
  
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*  수체의 class number는 기본적으로 그 수체의 대수적정수들이 UFD를 이루는지, 벗어난다면 얼마나 벗어나는지를 재주는 것으로 이해할 수 있음.<br>
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*  복소 이차 수체 <math>\mathbb{Q}(\sqrt{-d})</math>의 [[수체의 유수 (class number)|유수(class number)]] 1인 경우, 즉 그 정수집합이 UFD가 되는 경우는 다음 9가지가 있음.
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** class number 가 1인 경우, UFD가 됨.
 
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* 더 엄밀하게는 class number smgroup
 
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*  복소 이차 수체 <math>\mathbb{Q}(\sqrt{-d})</math> 가 class number 1인 경우 즉 그 정수집합이 UFD가 되는 경우는 다음 9가지가 있음.<br>
 
 
** <math>d=1,2,3,7,11,19,43,67,163</math>
 
** <math>d=1,2,3,7,11,19,43,67,163</math>
  
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<h5>관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들</h5>
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==스케치==
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===step 0===
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* <math>h(\mathbb{Q}(\sqrt{-d}))=1</math> 이라고 가정하자
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* reduce to <math>d=p\equiv 3 \pmod 8</math>
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* <math>d\equiv 1,2 \pmod 4</math> 이면 <math>d=1,2</math>
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* <math>d\equiv 7 \pmod 8</math> 이면 <math>d=7</math>
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===리뷰 : 베버 모듈라 함수===
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* [[베버(Weber) 모듈라 함수]]
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<math>\mathfrak{f}(\tau)=\frac{e^{-\frac{\pi i}{24}}\eta(\frac{\tau+1}{2})}{\eta(\tau)}=q^{-1/48} \prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n-\frac{1}{2}})</math>
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<math>\mathfrak{f}_1(\tau)=\frac{\eta(\frac{\tau}{2})}{\eta(\tau)}=q^{-1/48} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n-\frac{1}{2}})</math>
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<math>\mathfrak{f}_2(\tau)=\sqrt{2}\frac{\eta(2\tau)}{\eta(\tau)}=\sqrt{2}q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n})</math>
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<math>\gamma_2(\tau)=\sqrt[3]{j(\tau)}</math>
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===step 1===
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* <math>d=p\equiv 3 \pmod 8</math> 를 가정하자
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* <math>\tau_{0}=(3+\sqrt{-p})/2</math> 이면, <math>\gamma_2(\tau_0)\in \mathbb{Z}</math> 이다
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===step 2===
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<math>\gamma_2(\tau)=\frac{\mathfrak{f}_2(\tau)^{24}+16}{\mathfrak{f}_2(\tau)^8}=\sqrt[3]{j(\tau)}</math>
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<math>x^{24}-\gamma_2(\tau)x^8+16=0</math>
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===step 3===
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* <math>d=p\equiv 3 \pmod 8</math>라 하자.
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;prop
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<math>\mathfrak{f}(\sqrt{-p})^2\in\mathbb{Q}(j(\sqrt{-p}))</math> generates a cubic extension of  <math>\mathbb{Q}</math>.
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;증명
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[[J-불변량과 모듈라 다항식]]에 의해 다음이 성립한다
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:<math>\Phi_2\bigl(j(2\tau),j(\tau)\bigr)=0</math>
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여기서
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:<math>\Phi_2(x,y)=x^3+y^3-x^2 y^2+1488 (x^2 y + x y^2)-162000 (x^2+y^2) +40773375x y+8748000000 (x + y)-157464000000000</math>
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* <math>\tau_{0}=(3+\sqrt{-p})/2</math>, <math>\alpha=\zeta_{8}\mathfrak{f}_2(\tau_0)^2</math> 로 두자.
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;prop
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<math>\alpha^4=-\mathfrak{f}_2(\tau_0)^8</math>는 <math>x^{3}-\gamma_2(\tau_0)x-16=0</math> 의 해이다
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;prop
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<math>\alpha=2/\mathfrak{f}(\sqrt{-p})^2</math>이고, 따라서 <math>\alpha</math>는 3차 정수 계수 다항식 <math>x^3+ax^2+bx+c=0</math>  의 해이다
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;증명
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다음의 성질을 이용하여, <math>\zeta_{8}\mathfrak{f}_2(\tau_0)^2\mathfrak{f}(\sqrt{-p})^2=2</math>를 보일 수 있다
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* <math>\mathfrak{f}(\tau+1)=\zeta_{48}^{-1}\mathfrak{f}_ 1(\tau)</math>
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* <math>\mathfrak{f}_ 1(\tau+1)=\zeta_{48}^{-1}\mathfrak{f}(\tau)</math>
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* <math>\mathfrak{f}_ 1(2\tau)\mathfrak{f}_ 2(\tau)=\sqrt2</math>
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* <math>\alpha</math>가 만족하는 정수계수 다항식을 찾는 과정에서 [[히그너 디오판투스 방정식]]이 등장한다
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:<math>y^2=2x(x^3+1)=2x^4+2x</math>
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==역사==
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* 가우스가 [[정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)]]을 연구하며 위의 결과를 추측
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* 1952년 히그너에 의해 증명이 얻어지나 옳은 것으로 인정받지 못함
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*  1966-67년 스타크와 베이커에 의해 증명됨
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** 스타크는 히그너의 증명은 본질적으로 옳았음을 주장
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* [[수학사 연표]]
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==관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들==
  
 
* [[초등정수론]]
 
* [[초등정수론]]
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* [[추상대수학]]
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<h5>관련된 대학원 과목</h5>
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==관련된 항목들==
  
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* [[이차 수체(quadratic number fields) 의 정수론]]
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* [[타원 모듈라 j-함수의 singular moduli]]
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* [[수체의 유수 (class number)]]
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* [[이차 수체에 대한 디리클레 유수 (class number) 공식]]
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* [[정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)]]
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* [[판별식이 작은 경우의 이차형식 목록]]
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* [[오일러의 소수생성다항식 x²+x+41|오일러의 소수생성다항식]]
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* [[숫자 163]]
  
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<h5>관련된 다른 주제들</h5>
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* [[이차 수체(quadratic number fields) 의 정수론]]
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* [[오일러의 소수생성다항식 x²+x+41|오일러의 소수생성다항식]]<br>  <br>
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==관련도서==
  
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<h5>표준적인 도서 및 추천도서</h5>
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*  David A. Cox, [http://www.amazon.com/Primes-Form-x2-ny2-Multiplication/dp/0471190799 Primes of the Form x2 + ny2 : Fermat, Class Field Theory, and Complex Multiplication]
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** 271p
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*  J.Conway and R. Guy, The book of numbers
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** 224-226p, Nine Magic Discriminant
  
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* [http://www.amazon.com/Primes-Form-x2-ny2-Multiplication/dp/0471190799 Primes of the Form x2 + ny2] : Fermat, Class Field Theory, and Complex Multiplication <br>
 
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** David A. Cox
 
  
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<h5>위키링크</h5>
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==사전형태의 참고자료==
  
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Class_number_one_problem
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Class_number_one_problem
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Heegner_number
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Heegner_number
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* [http://en.wikipedia.org/wiki/Stark%E2%80%93Heegner_theorem http://en.wikipedia.org/wiki/Stark–Heegner_theorem]
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==리뷰논문, 에세이, 강의노트==
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* Booher, [http://math.stanford.edu/~jbooher/expos/class_number_one.pdf Modular curves and the class number one problem]
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* [http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.bams/1183552617 Gauss' class number problem for imaginary quadratic fields]
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** Dorian Goldfeld, Source: Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) Volume 13, Number 1 (1985), 23-37
 +
* [http://www.msri.org/communications/books/Book49/files/01birch.pdf Heegner Points: The Beginnings]
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** Birch, from [http://www.msri.org/communications/books/Book49/contents.html Heegner Points and Rankin L-Series](edited by Henri Darmon and Shou-Wu Zhang)
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* [http://www.jstor.org/stable/2321522 The Class Number Problem]
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** Roy W. Ryden, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 86, No. 3 (Mar., 1979), pp. 200-202
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==관련논문==
  
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<h5>참고할만한 자료</h5>
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*  The class number of quadratic fields and the conjectures of Birch and Swinnerton-Dyer
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** Goldfeld, Dorian, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4) 3 (1976), no. 4
 +
* [http://www.springerlink.com/content/lm33275055606310/ Class-Numbers of Complex Quadratic Fields]
 +
** H. M. Stark, from Modular Functions of One Variable I, 1973
 +
* [http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183533019 On the class number of imaginary quadratic fields]
 +
** A. Baker, Bull. Amer. Math. Soc. Volume 77, Number 5 (1971), 678-684.
 +
* H. M. Stark, On the gap in the theorem of Heegner, JOURNAL OF NUMBER THEORY 1 16-27 (1969)
 +
* [http://www.pnas.org/content/57/2/216.citation There is no Tenth Complex Quadratic Field with Class-Number One]
 +
** H. M. Stark, Proc Natl Acad Sci U S A. 1967 February; 57(2): 216–221
 +
* [http://dx.doi.org/10.1093/qmath/os-5.1.293 On the imaginary quadratic corpora of class number one]
 +
** H. Heilbronn and E. H. Linfoot, Quart. J. Math. Oxford Ser 2 5 (1934), 293-301
 +
[[분류:정수론]]
  
−
* [http://www.jstor.org/stable/2321522 The Class Number Problem]<br>
+
==메타데이터==
−
** Roy W. Ryden
+
===위키데이터===
−
** <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 86, No. 3 (Mar., 1979), pp. 200-202
+
* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q2403973 Q2403973]
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===Spacy 패턴 목록===
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* [{'LOWER': 'class'}, {'LOWER': 'number'}, {'LEMMA': 'problem'}]

2021년 2월 17일 (수) 03:56 기준 최신판

개요

  • 복소 이차 수체 \(\mathbb{Q}(\sqrt{-d})\)의 유수(class number) 1인 경우, 즉 그 정수집합이 UFD가 되는 경우는 다음 9가지가 있음.
    • \(d=1,2,3,7,11,19,43,67,163\)



스케치

step 0

  • \(h(\mathbb{Q}(\sqrt{-d}))=1\) 이라고 가정하자
  • reduce to \(d=p\equiv 3 \pmod 8\)
  • \(d\equiv 1,2 \pmod 4\) 이면 \(d=1,2\)
  • \(d\equiv 7 \pmod 8\) 이면 \(d=7\)



리뷰 : 베버 모듈라 함수

\(\mathfrak{f}(\tau)=\frac{e^{-\frac{\pi i}{24}}\eta(\frac{\tau+1}{2})}{\eta(\tau)}=q^{-1/48} \prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n-\frac{1}{2}})\)

\(\mathfrak{f}_1(\tau)=\frac{\eta(\frac{\tau}{2})}{\eta(\tau)}=q^{-1/48} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n-\frac{1}{2}})\)

\(\mathfrak{f}_2(\tau)=\sqrt{2}\frac{\eta(2\tau)}{\eta(\tau)}=\sqrt{2}q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n})\)

\(\gamma_2(\tau)=\sqrt[3]{j(\tau)}\)



step 1

  • \(d=p\equiv 3 \pmod 8\) 를 가정하자
  • \(\tau_{0}=(3+\sqrt{-p})/2\) 이면, \(\gamma_2(\tau_0)\in \mathbb{Z}\) 이다



step 2

\(\gamma_2(\tau)=\frac{\mathfrak{f}_2(\tau)^{24}+16}{\mathfrak{f}_2(\tau)^8}=\sqrt[3]{j(\tau)}\)

\(x^{24}-\gamma_2(\tau)x^8+16=0\)

step 3

  • \(d=p\equiv 3 \pmod 8\)라 하자.
prop

\(\mathfrak{f}(\sqrt{-p})^2\in\mathbb{Q}(j(\sqrt{-p}))\) generates a cubic extension of \(\mathbb{Q}\).

증명

J-불변량과 모듈라 다항식에 의해 다음이 성립한다 \[\Phi_2\bigl(j(2\tau),j(\tau)\bigr)=0\] 여기서 \[\Phi_2(x,y)=x^3+y^3-x^2 y^2+1488 (x^2 y + x y^2)-162000 (x^2+y^2) +40773375x y+8748000000 (x + y)-157464000000000\]

  • \(\tau_{0}=(3+\sqrt{-p})/2\), \(\alpha=\zeta_{8}\mathfrak{f}_2(\tau_0)^2\) 로 두자.
prop

\(\alpha^4=-\mathfrak{f}_2(\tau_0)^8\)는 \(x^{3}-\gamma_2(\tau_0)x-16=0\) 의 해이다

prop

\(\alpha=2/\mathfrak{f}(\sqrt{-p})^2\)이고, 따라서 \(\alpha\)는 3차 정수 계수 다항식 \(x^3+ax^2+bx+c=0\) 의 해이다

증명

다음의 성질을 이용하여, \(\zeta_{8}\mathfrak{f}_2(\tau_0)^2\mathfrak{f}(\sqrt{-p})^2=2\)를 보일 수 있다

  • \(\mathfrak{f}(\tau+1)=\zeta_{48}^{-1}\mathfrak{f}_ 1(\tau)\)
  • \(\mathfrak{f}_ 1(\tau+1)=\zeta_{48}^{-1}\mathfrak{f}(\tau)\)
  • \(\mathfrak{f}_ 1(2\tau)\mathfrak{f}_ 2(\tau)=\sqrt2\)

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\[y^2=2x(x^3+1)=2x^4+2x\]

역사



관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들




관련된 항목들



관련도서



사전형태의 참고자료




리뷰논문, 에세이, 강의노트



관련논문

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'class'}, {'LOWER': 'number'}, {'LEMMA': 'problem'}]
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