가우스의 class number one 문제

개요

• 복소 이차 수체 \(\mathbb{Q}(\sqrt{-d})\)의 유수(class number) 1인 경우, 즉 그 정수집합이 UFD가 되는 경우는 다음 9가지가 있음.
  • \(d=1,2,3,7,11,19,43,67,163\)

스케치

step 0

• \(h(\mathbb{Q}(\sqrt{-d}))=1\) 이라고 가정하자
• reduce to \(d=p\equiv 3 \pmod 8\)

• \(d\equiv 1,2 \pmod 4\) 이면 \(d=1,2\)
• \(d\equiv 7 \pmod 8\) 이면 \(d=7\)

리뷰 : 베버 모듈라 함수

• 베버(Weber) 모듈라 함수

\(\mathfrak{f}(\tau)=\frac{e^{-\frac{\pi i}{24}}\eta(\frac{\tau+1}{2})}{\eta(\tau)}=q^{-1/48} \prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n-\frac{1}{2}})\)

\(\mathfrak{f}_1(\tau)=\frac{\eta(\frac{\tau}{2})}{\eta(\tau)}=q^{-1/48} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n-\frac{1}{2}})\)

\(\mathfrak{f}_2(\tau)=\sqrt{2}\frac{\eta(2\tau)}{\eta(\tau)}=\sqrt{2}q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n})\)

\(\gamma_2(\tau)=\sqrt[3]{j(\tau)}\)

step 1

• \(d=p\equiv 3 \pmod 8\) 를 가정하자
• \(\tau_{0}=(3+\sqrt{-p})/2\) 이면, \(\gamma_2(\tau_0)\in \mathbb{Z}\) 이다

step 2

\(\gamma_2(\tau)=\frac{\mathfrak{f}_2(\tau)^{24}+16}{\mathfrak{f}_2(\tau)^8}=\sqrt[3]{j(\tau)}\)

\(x^{24}-\gamma_2(\tau)x^8+16=0\)

step 3

• \(d=p\equiv 3 \pmod 8\)라 하자.

prop

\(\mathfrak{f}(\sqrt{-p})^2\in\mathbb{Q}(j(\sqrt{-p}))\) generates a cubic extension of \(\mathbb{Q}\).

증명

J-불변량과 모듈라 다항식에 의해 다음이 성립한다 \[\Phi_2\bigl(j(2\tau),j(\tau)\bigr)=0\] 여기서 \[\Phi_2(x,y)=x^3+y^3-x^2 y^2+1488 (x^2 y + x y^2)-162000 (x^2+y^2) +40773375x y+8748000000 (x + y)-157464000000000\]

• \(\tau_{0}=(3+\sqrt{-p})/2\), \(\alpha=\zeta_{8}\mathfrak{f}_2(\tau_0)^2\) 로 두자.

prop

\(\alpha^4=-\mathfrak{f}_2(\tau_0)^8\)는 \(x^{3}-\gamma_2(\tau_0)x-16=0\) 의 해이다

prop

\(\alpha=2/\mathfrak{f}(\sqrt{-p})^2\)이고, 따라서 \(\alpha\)는 3차 정수 계수 다항식 \(x^3+ax^2+bx+c=0\) 의 해이다

증명

다음의 성질을 이용하여, \(\zeta_{8}\mathfrak{f}_2(\tau_0)^2\mathfrak{f}(\sqrt{-p})^2=2\)를 보일 수 있다

• \(\mathfrak{f}(\tau+1)=\zeta_{48}^{-1}\mathfrak{f}_ 1(\tau)\)
• \(\mathfrak{f}_ 1(\tau+1)=\zeta_{48}^{-1}\mathfrak{f}(\tau)\)
• \(\mathfrak{f}_ 1(2\tau)\mathfrak{f}_ 2(\tau)=\sqrt2\)

■

• \(\alpha\)가 만족하는 정수계수 다항식을 찾는 과정에서 히그너 디오판투스 방정식이 등장한다

\[y^2=2x(x^3+1)=2x^4+2x\]

역사

• 가우스가 정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)을 연구하며 위의 결과를 추측
• 1952년 히그너에 의해 증명이 얻어지나 옳은 것으로 인정받지 못함
• 1966-67년 스타크와 베이커에 의해 증명됨
  • 스타크는 히그너의 증명은 본질적으로 옳았음을 주장
• 수학사 연표

관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들

• 초등정수론
• 추상대수학

관련된 항목들

• 이차 수체(quadratic number fields) 의 정수론
• 타원 모듈라 j-함수의 singular moduli
• 수체의 유수 (class number)
• 이차 수체에 대한 디리클레 유수 (class number) 공식
• 정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)
• 판별식이 작은 경우의 이차형식 목록
• 오일러의 소수생성다항식
• 숫자 163

관련도서

• David A. Cox, Primes of the Form x2 + ny2 : Fermat, Class Field Theory, and Complex Multiplication
  • 271p
• J.Conway and R. Guy, The book of numbers
  • 224-226p, Nine Magic Discriminant

사전형태의 참고자료

• http://en.wikipedia.org/wiki/Class_number_one_problem
• http://en.wikipedia.org/wiki/Heegner_number
• http://en.wikipedia.org/wiki/Stark–Heegner_theorem

리뷰논문, 에세이, 강의노트

• Booher, Modular curves and the class number one problem
• Gauss' class number problem for imaginary quadratic fields
  • Dorian Goldfeld, Source: Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) Volume 13, Number 1 (1985), 23-37
• Heegner Points: The Beginnings
  • Birch, from Heegner Points and Rankin L-Series(edited by Henri Darmon and Shou-Wu Zhang)
• The Class Number Problem
  • Roy W. Ryden, The American Mathematical Monthly, Vol. 86, No. 3 (Mar., 1979), pp. 200-202

관련논문

• The class number of quadratic fields and the conjectures of Birch and Swinnerton-Dyer
  • Goldfeld, Dorian, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4) 3 (1976), no. 4
• Class-Numbers of Complex Quadratic Fields
  • H. M. Stark, from Modular Functions of One Variable I, 1973
• On the class number of imaginary quadratic fields
  • A. Baker, Bull. Amer. Math. Soc. Volume 77, Number 5 (1971), 678-684.
• H. M. Stark, On the gap in the theorem of Heegner, JOURNAL OF NUMBER THEORY 1 16-27 (1969)
• There is no Tenth Complex Quadratic Field with Class-Number One
  • H. M. Stark, Proc Natl Acad Sci U S A. 1967 February; 57(2): 216–221
• On the imaginary quadratic corpora of class number one
  • H. Heilbronn and E. H. Linfoot, Quart. J. Math. Oxford Ser 2 5 (1934), 293-301

메타데이터

위키데이터

• ID : Q2403973

Spacy 패턴 목록

• [{'LOWER': 'class'}, {'LOWER': 'number'}, {'LEMMA': 'problem'}]