"거듭제곱의 합을 구하는 공식"의 두 판 사이의 차이

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<h5>간단한 소개</h5>
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==개요==
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* 1부터 n까지의 r차 거듭제곱의 합을 구하는 공식.
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* [[베르누이 수]] <math>B_n</math>와 [[이항계수와 조합|이항계수]]를 사용하여 표현가능함
  
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:<math>
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\sum_{k=1}^{n}k^r=
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\begin{cases}
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n, & \text{if $r=0$} \\
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\frac{1}{r+1}n^{r+1}+\frac{1}{2}n^{r}+\sum_{j=2}^{r}\frac{\binom{r+1}{j} B_j}{r+1}n^{r+1-j}, & \text{if $r\ge 1$} \\
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\end{cases}
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</math>
  
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==간단한 예==
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* :<math>\Sigma_{k=1}^{n} k^r=1^r+2^r+\cdots + n^r</math> 의 테이블
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\begin{array}{c|c|c}
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r & \ \text{factored} & \text{expanded} \\
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\hline
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0 & n & n \\
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1 & \frac{1}{2} n (n+1) & \frac{n^2}{2}+\frac{n}{2} \\
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2 & \frac{1}{6} n (n+1) (2 n+1) & \frac{n^3}{3}+\frac{n^2}{2}+\frac{n}{6} \\
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3 & \frac{1}{4} n^2 (n+1)^2 & \frac{n^4}{4}+\frac{n^3}{2}+\frac{n^2}{4} \\
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4 & \frac{1}{30} n (n+1) (2 n+1) \left(3 n^2+3 n-1\right) & \frac{n^5}{5}+\frac{n^4}{2}+\frac{n^3}{3}-\frac{n}{30} \\
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5 & \frac{1}{12} n^2 (n+1)^2 \left(2 n^2+2 n-1\right) & \frac{n^6}{6}+\frac{n^5}{2}+\frac{5 n^4}{12}-\frac{n^2}{12} \\
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6 & \frac{1}{42} n (n+1) (2 n+1) \left(3 n^4+6 n^3-3 n+1\right) & \frac{n^7}{7}+\frac{n^6}{2}+\frac{n^5}{2}-\frac{n^3}{6}+\frac{n}{42} \\
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7 & \frac{1}{24} n^2 (n+1)^2 \left(3 n^4+6 n^3-n^2-4 n+2\right) & \frac{n^8}{8}+\frac{n^7}{2}+\frac{7 n^6}{12}-\frac{7 n^4}{24}+\frac{n^2}{12} \\
 +
8 & \frac{1}{90} n \left(10 n^8+45 n^7+60 n^6-42 n^4+20 n^2-3\right) & \frac{n^9}{9}+\frac{n^8}{2}+\frac{2 n^7}{3}-\frac{7 n^5}{15}+\frac{2 n^3}{9}-\frac{n}{30} \\
 +
9 & \frac{1}{20} n^2 (n+1)^2 \left(n^2+n-1\right) \left(2 n^4+4 n^3-n^2-3 n+3\right) & \frac{n^{10}}{10}+\frac{n^9}{2}+\frac{3 n^8}{4}-\frac{7 n^6}{10}+\frac{n^4}{2}-\frac{3 n^2}{20} \\
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\end{array}
  
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<h5>관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들</h5>
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==베르누이 수==
  
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<h5>관련된 대학원 과목</h5>
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* [[베르누이 수]]의 생성함수는 다음과 같이 주어진다.:<math>\frac{t}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n\frac{t^n}{n!}</math>
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*  처음 몇 베르누이 수는 다음과 같다
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:<math>
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\begin{array}{c|ccccccccccccccccc}
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n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 \\
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\hline
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B_n & 1 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{6} & 0 & -\frac{1}{30} & 0 & \frac{1}{42} & 0 & -\frac{1}{30} & 0 & \frac{5}{66} & 0 & -\frac{691}{2730} & 0 & \frac{7}{6} & 0 & -\frac{3617}{510}
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\end{array}
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</math>
  
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<h5>관련된 다른 주제들</h5>
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==베르누이 다항식==
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* [[베르누이 다항식]]의 생성함수는 다음과 같이 정의된다
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:<math>\frac{t e^{xt}}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n(x) \frac{t^n}{n!}</math>
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* 베르누이 수 <math>B_k</math>와 [[이항계수와 조합|이항계수]]를 이용하여 표현하면 다음과 같다
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:<math>B_n(x)=\sum_{k=0}^n {n \choose k}B_k x^{n-k}</math>
  
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* [[차분방정식(difference equation) 과 유한미적분학 (finite calculus)|Calculus of Finite differences]]
 
  
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===계차수열===
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* 베르누이 다항식에 대하여 다음이 성립한다
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:<math>\left(\Delta B_n\right)(x)=B_n(x+1)-B_n(x)=nx^{n-1}\label{diff}</math>
  
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<h5>표준적인 도서 및 추천도서</h5>
 
  
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\begin{array}{c|cc}
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{} & B_n(x) & \left(\Delta B_n\right)(x)=B_n(x+1)-B_n(x) \\
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\hline
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0 & 1 & 0 \\
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1 & x-\frac{1}{2} & 1 \\
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2 & x^2-x+\frac{1}{6} & 2 x \\
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3 & x^3-\frac{3 x^2}{2}+\frac{x}{2} & 3 x^2 \\
 +
4 & x^4-2 x^3+x^2-\frac{1}{30} & 4 x^3 \\
 +
5 & x^5-\frac{5 x^4}{2}+\frac{5 x^3}{3}-\frac{x}{6} & 5 x^4 \\
 +
6 & x^6-3 x^5+\frac{5 x^4}{2}-\frac{x^2}{2}+\frac{1}{42} & 6 x^5 \\
 +
7 & x^7-\frac{7 x^6}{2}+\frac{7 x^5}{2}-\frac{7 x^3}{6}+\frac{x}{6} & 7 x^6 \\
 +
8 & x^8-4 x^7+\frac{14 x^6}{3}-\frac{7 x^4}{3}+\frac{2 x^2}{3}-\frac{1}{30} & 8 x^7 \\
 +
9 & x^9-\frac{9 x^8}{2}+6 x^7-\frac{21 x^5}{5}+2 x^3-\frac{3 x}{10} & 9 x^8 \\
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\end{array}
  
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<h5>위키링크</h5>
 
  
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==거듭제곱의 합==
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[[차분방정식(difference equation) 과 유한미적분학 (finite calculus)]]의 정리에 의하면, <math>\Delta F=f</math> 인 두 수열에 대하여
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:<math>\sum_{k=a}^{b-1}f(k)=F(b)-F(a)</math>
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이 성립한다.
  
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<h5>참고할만한 자료</h5>
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이를 베르누이 다항식에 적용하면,
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:<math>\sum_{k=1}^{n}k^r=\frac{1}{r+1}\left(B_{r+1}(n+1)-B_{r+1}(1)\right) \label{f1}</math>
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을 얻는다.
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<math>r\ge 1</math> 이라 하고, \ref{diff}를 이용하여 \ref{f1}을 다시 쓰면,
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:<math>
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\begin{align}
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\quad \sum_{k=1}^{n}k^r&=\frac{1}{r+1}\left(B_{r+1}(n)-B_{r+1}(1)\right)+n^r \\
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&= \frac{1}{r+1}\left(B_{r+1}(n)-B_{r+1}(0)\right)+n^r\\
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&=\left(\sum_{j=0}^{r}\frac{\binom{r+1}{j} B_j}{r+1}n^{r+1-j}\right)+ n^r \\
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&=\frac{1}{r+1}n^{r+1}+\frac{1}{2}n^{r}+\sum_{j=2}^{r}\frac{\binom{r+1}{j} B_j}{r+1}n^{r+1-j}
 +
\end{align}
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</math>
  
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* [http://www.jstor.org/stable/2686229 Using the Finite Difference Calculus to Sum Powers of Integers]<br>
+
==관련된 항목들==
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 +
* [[차분방정식(difference equation) 과 유한미적분학 (finite calculus)]]
 +
* [[오일러-맥클로린 공식]]
 +
* [[베르누이 수|베르누이 수와 베르누이 다항식]]
 +
* [[ζ(2)의 계산, 오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)|오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)]]
 +
* Umbral calculus
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
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* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxc3pmaEo5RHlnd0E/edit
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==위키링크==
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Faulhaber%27s_formula
 +
 
 +
 
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==관련논문==
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* [http://www.jstor.org/stable/2686229 Using the Finite Difference Calculus to Sum Powers of Integers]
 
** Lee Zia
 
** Lee Zia
 
** <cite>The College Mathematics Journal</cite>, Vol. 22, No. 4 (Sep., 1991), pp. 294-300
 
** <cite>The College Mathematics Journal</cite>, Vol. 22, No. 4 (Sep., 1991), pp. 294-300
  
−
* [http://www.jstor.org/stable/2320064 Euler's formula nth Differences of Powers]<br>
+
* [http://www.jstor.org/stable/2320064 Euler's formula nth Differences of Powers]
 
** H. W. Gould
 
** H. W. Gould
 
** <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 85, No. 6 (Jun. - Jul., 1978), pp. 450-467
 
** <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 85, No. 6 (Jun. - Jul., 1978), pp. 450-467
−
* [http://www.jstor.org/stable/2691053 Bernoulli's Identity without Calculus]<br>
+
* [http://www.jstor.org/stable/2691053 Bernoulli's Identity without Calculus]
 
** Kenneth S. Williams
 
** Kenneth S. Williams
 
** <cite>Mathematics Magazine</cite>, Vol. 70, No. 1 (Feb., 1997), pp. 47-50
 
** <cite>Mathematics Magazine</cite>, Vol. 70, No. 1 (Feb., 1997), pp. 47-50
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* [http://www.jstor.org/stable/2321518 The Umbral Method: A Survey of Elementary Mnemonic and Manipulative Uses]
 +
** Andrew P. Guinand
 +
** <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 86, No. 3 (Mar., 1979), pp. 187-195
 +
* [http://www.jstor.org/stable/2695389 A Symmetry of Power Sum Polynomials and Bernoulli Numbers]
 +
** Hans J. H. Tuenter
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** <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 108, No. 3 (Mar., 2001), pp. 258-261
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[[분류:목록]]
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== 메타데이터 ==
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==메타데이터==
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===위키데이터===
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* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q1398443 Q1398443]
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===Spacy 패턴 목록===
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* [{'LOWER': 'faulhaber'}, {'LOWER': "'s"}, {'LEMMA': 'formula'}]

2021년 2월 17일 (수) 03:58 기준 최신판

개요

\[ \sum_{k=1}^{n}k^r= \begin{cases} n, & \text{if $r=0$} \\ \frac{1}{r+1}n^{r+1}+\frac{1}{2}n^{r}+\sum_{j=2}^{r}\frac{\binom{r+1}{j} B_j}{r+1}n^{r+1-j}, & \text{if $r\ge 1$} \\ \end{cases} \]

간단한 예

  • \[\Sigma_{k=1}^{n} k^r=1^r+2^r+\cdots + n^r\] 의 테이블

\begin{array}{c|c|c} r & \ \text{factored} & \text{expanded} \\ \hline 0 & n & n \\ 1 & \frac{1}{2} n (n+1) & \frac{n^2}{2}+\frac{n}{2} \\ 2 & \frac{1}{6} n (n+1) (2 n+1) & \frac{n^3}{3}+\frac{n^2}{2}+\frac{n}{6} \\ 3 & \frac{1}{4} n^2 (n+1)^2 & \frac{n^4}{4}+\frac{n^3}{2}+\frac{n^2}{4} \\ 4 & \frac{1}{30} n (n+1) (2 n+1) \left(3 n^2+3 n-1\right) & \frac{n^5}{5}+\frac{n^4}{2}+\frac{n^3}{3}-\frac{n}{30} \\ 5 & \frac{1}{12} n^2 (n+1)^2 \left(2 n^2+2 n-1\right) & \frac{n^6}{6}+\frac{n^5}{2}+\frac{5 n^4}{12}-\frac{n^2}{12} \\ 6 & \frac{1}{42} n (n+1) (2 n+1) \left(3 n^4+6 n^3-3 n+1\right) & \frac{n^7}{7}+\frac{n^6}{2}+\frac{n^5}{2}-\frac{n^3}{6}+\frac{n}{42} \\ 7 & \frac{1}{24} n^2 (n+1)^2 \left(3 n^4+6 n^3-n^2-4 n+2\right) & \frac{n^8}{8}+\frac{n^7}{2}+\frac{7 n^6}{12}-\frac{7 n^4}{24}+\frac{n^2}{12} \\ 8 & \frac{1}{90} n \left(10 n^8+45 n^7+60 n^6-42 n^4+20 n^2-3\right) & \frac{n^9}{9}+\frac{n^8}{2}+\frac{2 n^7}{3}-\frac{7 n^5}{15}+\frac{2 n^3}{9}-\frac{n}{30} \\ 9 & \frac{1}{20} n^2 (n+1)^2 \left(n^2+n-1\right) \left(2 n^4+4 n^3-n^2-3 n+3\right) & \frac{n^{10}}{10}+\frac{n^9}{2}+\frac{3 n^8}{4}-\frac{7 n^6}{10}+\frac{n^4}{2}-\frac{3 n^2}{20} \\ \end{array}



베르누이 수

  • 베르누이 수의 생성함수는 다음과 같이 주어진다.\[\frac{t}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n\frac{t^n}{n!}\]
  • 처음 몇 베르누이 수는 다음과 같다

\[ \begin{array}{c|ccccccccccccccccc} n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 \\ \hline B_n & 1 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{6} & 0 & -\frac{1}{30} & 0 & \frac{1}{42} & 0 & -\frac{1}{30} & 0 & \frac{5}{66} & 0 & -\frac{691}{2730} & 0 & \frac{7}{6} & 0 & -\frac{3617}{510} \end{array} \]



베르누이 다항식

\[\frac{t e^{xt}}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n(x) \frac{t^n}{n!}\]

  • 베르누이 수 \(B_k\)와 이항계수를 이용하여 표현하면 다음과 같다

\[B_n(x)=\sum_{k=0}^n {n \choose k}B_k x^{n-k}\]


계차수열

  • 베르누이 다항식에 대하여 다음이 성립한다

\[\left(\Delta B_n\right)(x)=B_n(x+1)-B_n(x)=nx^{n-1}\label{diff}\]


\begin{array}{c|cc} {} & B_n(x) & \left(\Delta B_n\right)(x)=B_n(x+1)-B_n(x) \\ \hline 0 & 1 & 0 \\ 1 & x-\frac{1}{2} & 1 \\ 2 & x^2-x+\frac{1}{6} & 2 x \\ 3 & x^3-\frac{3 x^2}{2}+\frac{x}{2} & 3 x^2 \\ 4 & x^4-2 x^3+x^2-\frac{1}{30} & 4 x^3 \\ 5 & x^5-\frac{5 x^4}{2}+\frac{5 x^3}{3}-\frac{x}{6} & 5 x^4 \\ 6 & x^6-3 x^5+\frac{5 x^4}{2}-\frac{x^2}{2}+\frac{1}{42} & 6 x^5 \\ 7 & x^7-\frac{7 x^6}{2}+\frac{7 x^5}{2}-\frac{7 x^3}{6}+\frac{x}{6} & 7 x^6 \\ 8 & x^8-4 x^7+\frac{14 x^6}{3}-\frac{7 x^4}{3}+\frac{2 x^2}{3}-\frac{1}{30} & 8 x^7 \\ 9 & x^9-\frac{9 x^8}{2}+6 x^7-\frac{21 x^5}{5}+2 x^3-\frac{3 x}{10} & 9 x^8 \\ \end{array}



거듭제곱의 합

차분방정식(difference equation) 과 유한미적분학 (finite calculus)의 정리에 의하면, \(\Delta F=f\) 인 두 수열에 대하여 \[\sum_{k=a}^{b-1}f(k)=F(b)-F(a)\] 이 성립한다.

이를 베르누이 다항식에 적용하면, \[\sum_{k=1}^{n}k^r=\frac{1}{r+1}\left(B_{r+1}(n+1)-B_{r+1}(1)\right) \label{f1}\] 을 얻는다. \(r\ge 1\) 이라 하고, \ref{diff}를 이용하여 \ref{f1}을 다시 쓰면, \[ \begin{align} \quad \sum_{k=1}^{n}k^r&=\frac{1}{r+1}\left(B_{r+1}(n)-B_{r+1}(1)\right)+n^r \\ &= \frac{1}{r+1}\left(B_{r+1}(n)-B_{r+1}(0)\right)+n^r\\ &=\left(\sum_{j=0}^{r}\frac{\binom{r+1}{j} B_j}{r+1}n^{r+1-j}\right)+ n^r \\ &=\frac{1}{r+1}n^{r+1}+\frac{1}{2}n^{r}+\sum_{j=2}^{r}\frac{\binom{r+1}{j} B_j}{r+1}n^{r+1-j} \end{align} \]

관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스


위키링크



관련논문

메타데이터

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'faulhaber'}, {'LOWER': "'s"}, {'LEMMA': 'formula'}]
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