"타원함수론 입문"의 두 판 사이의 차이

2020년 12월 28일 (월) 05:21 기준 최신판

이 공부에는 유비(analogy)적인 생각이 매우 유용하다.

무리함수적분 사인함수 원의 발견

\(\int_0^P{\frac{1}{\sqrt{1-z^2}}}dz\)

이 함수를 제대로 이해하려면, 적어도 세 가지를 이해해야 한다.

첫번째

\(\frac{1}{\sqrt{1-z^2}}\) 는 어떤 공간에 정의된 함수인가? 이것은 2 sheeted 리만 곡면에 정의된 함수이다.

두번째

\(\int_0^P{\frac{1}{\sqrt{1-z^2}}}dz\) 는 그럼 또 어떤 공간에 정의된 함수인가?

P 역시 2 sheeted 리만 곡면에서 정의되어 있다. 다만 이 값은 경로에 의존할 것이다.

한가지 달라지는 것은 P는 무한대 점이 될 수 없다는 것이다.

세번째

이 함수의 공역은 무엇인가?

\(\int_0^x{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}dx+\int_0^y{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}dx=\int_0^{x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}}{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}dx\)

\(\arcsin x+\arcsin y=\arcsin(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2})\)

\(\sin\left(x+y\right)=\sin x\cos y +\cos x \sin y\)

이렇게 정의역과 공역을 명확하게 하려는 노력에서 일차적으로 리만곡면이 발견되었고, 아벨-자코비의 이론이 싹트게 된다.

타원적분 타원함수 토러스의 발견

복소함수와 브랜치컷

하나의 브랜치가 고정되었다고 하자.

\(w=f(z)\)

\((z,w)\) 는 리만곡면의 하나의 점을 나타내는 방식이다.

"타원함수론 입문"의 두 판 사이의 차이

2020년 12월 28일 (월) 05:21 기준 최신판

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-이 공부에는 유비(analogy)적인 생각이 매우 유용하다.
+이 공부에는 유비(analogy)적인 생각이 매우 유용하다.
 무리함수적분 사인함수 원의 발견
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 <math>\int_0^P{\frac{1}{\sqrt{1-z^2}}}dz</math>
 이 함수를 제대로 이해하려면, 적어도 세 가지를 이해해야 한다.
 첫번째
-<math>\frac{1}{\sqrt{1-z^2}}</math> 는 어떤 공간에 정의된 함수인가? 이것은 2 sheeted 리만 곡면에 정의된 함수이다.
+<math>\frac{1}{\sqrt{1-z^2}}</math> 는 어떤 공간에 정의된 함수인가? 이것은 2 sheeted 리만 곡면에 정의된 함수이다.
 두번째
-<math>\int_0^P{\frac{1}{\sqrt{1-z^2}}}dz</math> 는 그럼 또 어떤 공간에 정의된 함수인가?
+<math>\int_0^P{\frac{1}{\sqrt{1-z^2}}}dz</math> 는 그럼 또 어떤 공간에 정의된 함수인가?
-P 역시 2 sheeted 리만 곡면에서 정의되어 있다. 다만 이 값은 경로에 의존할 것이다.
+P 역시 2 sheeted 리만 곡면에서 정의되어 있다. 다만 이 값은 경로에 의존할 것이다.
-한가지 달라지는 것은 P는 무한대 점이 될 수 없다는 것이다.
+한가지 달라지는 것은 P는 무한대 점이 될 수 없다는 것이다.
 세번째
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 이 함수의 공역은 무엇인가?
-타원적분 타원함수 토러스의 발견
+<math>\int_0^x{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}dx+\int_0^y{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}dx=\int_0^{x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}}{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}dx</math>
+<math>\arcsin x+\arcsin y=\arcsin(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2})</math>
-[http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cint_0%5Ex%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B1-x%5E2%7D%7D%7Ddx%2B%5Cint_0%5Ey%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B1-x%5E2%7D%7D%7Ddx%20%3D%20%5Cint_0%5E%7Bx%5Csqrt%7B1-y%5E2%7D%2By%5Csqrt%7B1-x%5E2%7D%7D%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B1-x%5E2%7D%7D%7Ddx%20 ]
+<math>\sin\left(x+y\right)=\sin x\cos y +\cos x \sin y</math>
-[http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Carcsin%20x%2B%5Carcsin%20y%3D%5Carcsin%20%28x%5Csqrt%7B1-y%5E2%7D%2By%5Csqrt%7B1-x%5E2%7D%29 ]<br>[http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Csin%20%5Cleft%28x%2By%5Cright%29%3D%5Csin%20x%20%5Ccos%20y%20%2B%20%5Ccos%20x%20%5Csin%20y%5C ]
+이렇게 정의역과 공역을 명확하게 하려는 노력에서 일차적으로 리만곡면이 발견되었고, 아벨-자코비의 이론이 싹트게 된다.
-이렇게 정의역과 공역을 명확하게 하려는 노력에서 일차적으로 리만곡면이 발견되었고, 아벨-자코비의 이론이 싹트게 된다.
+타원적분 타원함수 토러스의 발견
-복소함수와 브랜치컷
-하나의 브랜치가 고정되었다고 하자.
-<math>w=f(z)</math>
-<math>(z,w)</math> 는 리만곡면의 하나의 점을 나타내는 방식이다.
+복소함수와 브랜치컷
+하나의 브랜치가 고정되었다고 하자.
+<math>w=f(z)</math>
- <math>\int R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\,dx</math> 형태의 적분이 주어져 있을때, 이러한 삼각치환들이 잘 되는 이유는 '이차곡선은 유리함수로 매개화 가능' 하기 때문이다.
-즉, <math>y^2=ax^2+bx+c</math> 라는 곡선을, 유리함수 <math>f,g</math>를 사용하여 <math>x=f(t), y=g(t)</math> 형태로 매개화할 수 있기 때문이다.
-매개화가 왜 되는지는, 나중에 다시 쓰도록 하자.
-그러면 루트 안에 들어가는 차수가 높아지는  <math>\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}</math> 와 같은 경우([[렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분|lemniscate 곡선의 길이와 타원적분]])는 어떨까?
-<math>y^2=1-x^4</math> 를 유리함수로 매개화할 수 있다면, 부정적분을 구할 수 있지 않을까?
-하지만 애석하게도 그러한 유리함수로의 매개화는 존재하지 않는다!!!
-이러한 적분이 바로 19세기의 수학계를 뜨겁게 달구었던 타원적분이다.
-일반적으로 다음과 같은 형태로 주어지는 적분을 [[타원적분(통합됨)|타원적분]]이라 부른다.
-<math>\int R(x,y)\,dx</math>
-여기서 <math>R(x,y)</math>는 <math>x,y</math>의 유리함수이고, <math>y^2</math>는  중근을 갖지 않는 <math>x</math>의 3차식 또는 4차식으로 주어짐.
-타원적분이라는 말은 타원의 둘레의 길이를 구하는 문제로부터 기원했다고 전해진다.
-타원  <math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1</math>의 둘레의 길이가 <math>4aT(k)</math> 로 주어지기 때문이다. 여기서 <math>k,T(k)</math> 는 다음과 같다.
- <math>k=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}</math>
-<math>T(k)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-k^2\sin^2 \theta} d\theta =\int_{0}^{1}\frac{\sqrt{1-k^2x^2}}{\sqrt{1-x^2}} dx=\int_{0}^{1}\frac{1-k^2x^2}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}\,dx</math>
-이렇게 하여 이 글을 착실하게 읽은 사람들은 모두 타원적분의 세계로 가는 문을 만나게 되었다. 이렇듯 삼각치환을 가르칠 때에도 아이들을 넓고 넓은 타원적분의 세계로 꼬셔올 수 있는 순간은 존재한다.
-나는 비율판정법을 말할 때에는 [[초기하급수(Hypergeometric series)|초기하급수(Hypergeometric series)와 q-초기하급수]] 를 말하고, 삼각치환을 말할 때에는 [[타원적분(통합됨)|타원적분]]을 말해주는 교육을 꿈꾼다.
-그리고 나는 여전히 많은 사람들이 [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/10/26/843 피리부는 사나이]가 되기를 바란다. 그것이 애들을 꼬시는 사나이든지, 쥐새끼 잡는 사나이든지 간에.
-이번 학기에는 미적분학 조교를 하고 있다. 요며칠간 삼각치환과 유리함수를 부분분수로 분해하여 적분하는 기술들을 가르치고 있다. 가르칠 때 말고서야, 쓸 일이 거의 없는 것이지만 그래도 이런 기술들이 작동하는 것을 보면 여전히 신기하다. 미적분학 시간에야 아이들한테 책에 나오는 기술들 가르쳐주고, 사용방법 보여주기도 빠듯하지만,
-삼각치환이 작동하는 배경에는 다음과 같은 심오한 정리가 자리잡고 있다.
-오일러의 적분정리<br>
-임의의 2변수 유리함수 <math>R(x,y)</math> 에 대하여, <math>\int R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\,dx</math> 는 언제나 초등함수로 표현이 가능하다.
-이 정리가 성립하는 이유는, 근본적으로 2차곡선이 일변수의 유리함수로 매개화가 가능하기 때문이고, 이것은 위상수학의 개념을 가지고 와서야 비로소 명료하게 이해될 수 있다.
-위의 정리가 적용되는 적분 <math>\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}</math> 와 초등함수로는 표현되지 않는 적분 <math>\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}</math> 사이의 넘을 수 없는 세계는, 이들 적분과 관련되어 있는 곡면의 구멍이 몇 개인가로 나누어진다.
-무미건조한 미적분학 책을 통해서는 도저히 배울 수 없는, 부정적분과 위상수학의 보이지 않는 관계!
-* [[렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분|lemniscate 곡선의 길이와 타원적분]]<br><br>
-<br>
+<math>(z,w)</math> 는 리만곡면의 하나의 점을 나타내는 방식이다.
+[[분류:수학노트(피)]]
+[[분류:migrate]]