"내적공간과 미분방정식"의 두 판 사이의 차이
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imported>Pythagoras0 |
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벡터공간 | 벡터공간 | ||
| − | <math>f(0)=f(\pi)=0</math> | + | <math>f(0)=f(\pi)=0</math> 을 만족시키는 <math>[0,\pi]</math>에서 정의된 함수공간 |
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내적 | 내적 | ||
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<math>(f,g)=\int_0^{\pi}f(x)g(x)\,dx</math> | <math>(f,g)=\int_0^{\pi}f(x)g(x)\,dx</math> | ||
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선형사상 | 선형사상 | ||
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<math>L[y]=y''</math> | <math>L[y]=y''</math> | ||
| − | + | ||
(정리) | (정리) | ||
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<math>L[y]=y''</math>은 Hermitian operator 이다. | <math>L[y]=y''</math>은 Hermitian operator 이다. | ||
| − | + | 즉 <math>(L[f],g)=(f'',g)=(f,g'')=(f,L[g])</math> | |
(증명) | (증명) | ||
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<math>(Lf,g)=\int_0^{\pi}f''(x)g(x)\,dx=[f'(x)g(x)]_0^{\pi}-\int_0^{\pi}f'(x)g'(x)\,dx=-[f(x)g'(x)]_0^{\pi}+\int_0^{\pi}f(x)g''(x)\,dx=(f,Lg)</math> | <math>(Lf,g)=\int_0^{\pi}f''(x)g(x)\,dx=[f'(x)g(x)]_0^{\pi}-\int_0^{\pi}f'(x)g'(x)\,dx=-[f(x)g'(x)]_0^{\pi}+\int_0^{\pi}f(x)g''(x)\,dx=(f,Lg)</math> | ||
| − | + | ||
http://www.wolframalpha.com/input/?i=+sin+3x+*+sin+4x+ | http://www.wolframalpha.com/input/?i=+sin+3x+*+sin+4x+ | ||
[http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate_0%5E%28pi%29+1/2+%28cos%28x%29-cos%287+x%29%29+dx http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate_0^(pi)+1/2+(cos(x)-cos(7+x))+dx] | [http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate_0%5E%28pi%29+1/2+%28cos%28x%29-cos%287+x%29%29+dx http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate_0^(pi)+1/2+(cos(x)-cos(7+x))+dx] | ||
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2020년 12월 28일 (월) 04:21 기준 최신판
벡터공간
\(f(0)=f(\pi)=0\) 을 만족시키는 \([0,\pi]\)에서 정의된 함수공간
내적
\((f,g)=\int_0^{\pi}f(x)g(x)\,dx\)
선형사상
\(L[y]=y''\)
(정리)
\(L[y]=y''\)은 Hermitian operator 이다.
즉 \((L[f],g)=(f'',g)=(f,g'')=(f,L[g])\)
(증명)
\((Lf,g)=\int_0^{\pi}f''(x)g(x)\,dx=[f'(x)g(x)]_0^{\pi}-\int_0^{\pi}f'(x)g'(x)\,dx=-[f(x)g'(x)]_0^{\pi}+\int_0^{\pi}f(x)g''(x)\,dx=(f,Lg)\)
http://www.wolframalpha.com/input/?i=+sin+3x+*+sin+4x+
http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate_0^(pi)+1/2+(cos(x)-cos(7+x))+dx]]