"슬레이터 8"의 두 판 사이의 차이
둘러보기로 가기
검색하러 가기
Pythagoras0 (토론 | 기여) |
Pythagoras0 (토론 | 기여) |
||
| 3번째 줄: | 3번째 줄: | ||
* [[슬레이터 8]] | * [[슬레이터 8]] | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
==개요== | ==개요== | ||
| 11번째 줄: | 11번째 줄: | ||
* 항등식:<math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(q^2;q^2)_{n}q^{n(n+1)/2}}{ (q)_{n}^2}=\frac{(-q)_{\infty}}{(q^2;q^4)_{\infty}}</math> | * 항등식:<math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(q^2;q^2)_{n}q^{n(n+1)/2}}{ (q)_{n}^2}=\frac{(-q)_{\infty}}{(q^2;q^4)_{\infty}}</math> | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
==항등식의 분류== | ==항등식의 분류== | ||
| 20번째 줄: | 20번째 줄: | ||
* B(3) | * B(3) | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
==켤레 베일리 쌍의 유도== | ==켤레 베일리 쌍의 유도== | ||
| − | * [[q-가우스 합]] 에서 얻어진 다음 결과를 이용:<math>\delta_n=\frac{(y)_n(z)_n x^n}{y^n z^n}</math>, | + | * [[q-가우스 합]] 에서 얻어진 다음 결과를 이용:<math>\delta_n=\frac{(y)_n(z)_n x^n}{y^n z^n}</math>, <math>\gamma_n=\frac{(x/y;q)_{\infty}(x/z;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}(x/yz;q)_{\infty}}\frac{(y)_n(z)_n x^n}{(x/y)_{n}(x/z)_{n}y^n z^n}</math>:<math>\gamma_{n}=\sum_{r=0}^{\infty}\frac{\delta_{n+r}}{(x)_{r+2n}(q)_{r}}</math> |
* 다음 특별한 경우:<math>x=q^2, y=-q, z\to\infty</math>. | * 다음 특별한 경우:<math>x=q^2, y=-q, z\to\infty</math>. | ||
* 얻어진 켤레 베일리 쌍 ([[슬레이터 2]] 와 같음):<math>\delta_n=(-q)_{n}q^{\frac{n(n+1)}{2}}=\frac{(q^2;q^2)_{n}}{(q)_{n}}q^{\frac{n(n+1)}{2}}</math>:<math>\gamma_n=\frac{(-q)_{\infty}}{(q^2)_{\infty}}q^{\frac{n(n+1)}{2}}</math> | * 얻어진 켤레 베일리 쌍 ([[슬레이터 2]] 와 같음):<math>\delta_n=(-q)_{n}q^{\frac{n(n+1)}{2}}=\frac{(q^2;q^2)_{n}}{(q)_{n}}q^{\frac{n(n+1)}{2}}</math>:<math>\gamma_n=\frac{(-q)_{\infty}}{(q^2)_{\infty}}q^{\frac{n(n+1)}{2}}</math> | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
==베일리 쌍의 유도== | ==베일리 쌍의 유도== | ||
| 40번째 줄: | 40번째 줄: | ||
* 다음을 이용:<math>\sum_{r=0}^{n}\frac{(1-aq^{2r})(-1)^{r}q^{\frac{1}{2}(r^2+r)}(a)_{r}(c)_{r}(d)_{r}a^{r}}{(a)_{n+r+1}(q)_{n-r}(q)_{r}(aq/c)_{r}(aq/d)_{r}c^{r}d^{r}}=\frac{(aq/cd)_{n}}{(q)_{n}(aq/c)_{n}(aq/d)_{n}}</math> | * 다음을 이용:<math>\sum_{r=0}^{n}\frac{(1-aq^{2r})(-1)^{r}q^{\frac{1}{2}(r^2+r)}(a)_{r}(c)_{r}(d)_{r}a^{r}}{(a)_{n+r+1}(q)_{n-r}(q)_{r}(aq/c)_{r}(aq/d)_{r}c^{r}d^{r}}=\frac{(aq/cd)_{n}}{(q)_{n}(aq/c)_{n}(aq/d)_{n}}</math> | ||
* 다음의 특수한 경우:<math>a=q, c\to\infty, d\to\infty</math> | * 다음의 특수한 경우:<math>a=q, c\to\infty, d\to\infty</math> | ||
| − | * | + | * 얻어진 베일리 쌍:<math>\alpha_{n}=\frac{(-1)^{n}q^{\frac{3}{2}n^2+\frac{1}{2}n}(1-q^{2n+1})}{1-q}</math>:<math>\beta_n=\frac{1}{(q)_{n}}</math>:<math>\beta_n=\sum_{r=0}^{n}\frac{\alpha_r}{(x)_{n-r}(q)_{n+r}}=\sum_{r=0}^{n}\frac{\alpha_r}{(q^{2})_{n-r}(q)_{n+r}}</math> |
| − | + | ||
| − | + | ||
==베일리 쌍== | ==베일리 쌍== | ||
| 50번째 줄: | 50번째 줄: | ||
* 베일리 쌍과 켤레 베일리 쌍:<math>\delta_n=(-q)_{n}q^{\frac{n(n+1)}{2}}=\frac{(q^2;q^2)_{n}}{(q)_{n}}q^{\frac{n(n+1)}{2}}</math>:<math>\gamma_n=\frac{(-q)_{\infty}}{(q^2)_{\infty}}q^{\frac{n(n+1)}{2}}</math>:<math>\alpha_{n}=\frac{(-1)^{n}q^{\frac{3}{2}n^2+\frac{1}{2}n}(1-q^{2n+1})}{1-q}</math>:<math>\beta_n=\frac{1}{(q)_{n}}</math> | * 베일리 쌍과 켤레 베일리 쌍:<math>\delta_n=(-q)_{n}q^{\frac{n(n+1)}{2}}=\frac{(q^2;q^2)_{n}}{(q)_{n}}q^{\frac{n(n+1)}{2}}</math>:<math>\gamma_n=\frac{(-q)_{\infty}}{(q^2)_{\infty}}q^{\frac{n(n+1)}{2}}</math>:<math>\alpha_{n}=\frac{(-1)^{n}q^{\frac{3}{2}n^2+\frac{1}{2}n}(1-q^{2n+1})}{1-q}</math>:<math>\beta_n=\frac{1}{(q)_{n}}</math> | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
==q-series 항등식== | ==q-series 항등식== | ||
| 64번째 줄: | 64번째 줄: | ||
** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q= | ** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q= | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
==베테 타입 방정식 (cyclotomic equation)== | ==베테 타입 방정식 (cyclotomic equation)== | ||
| − | + | Let <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{q^{n(an+b)/2}}{ | |
\prod_{j=1}^{r}(q^{c_j};q^{d_j})_n^{e_j}}=\sum_{N=0}^{\infty} a_N q^{N}</math>. | \prod_{j=1}^{r}(q^{c_j};q^{d_j})_n^{e_j}}=\sum_{N=0}^{\infty} a_N q^{N}</math>. | ||
| − | + | Then <math>\prod_{j=1}^{r}(1-x^{d_j})^{e_j}=x^a</math> has a unique root <math>0<\mu<1</math>. We get | |
<math>\log^2 a_N \sim 4N\sum_{j=1}^{r}\frac{e_j}{d_j}L(1-\mu^{d_j})</math> | <math>\log^2 a_N \sim 4N\sum_{j=1}^{r}\frac{e_j}{d_j}L(1-\mu^{d_j})</math> | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
<math>(1-x)^2(1-x^2)^{-1}=x^{1}</math> | <math>(1-x)^2(1-x^2)^{-1}=x^{1}</math> | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
==다이로그 항등식== | ==다이로그 항등식== | ||
2020년 12월 28일 (월) 03:39 기준 최신판
이 항목의 수학노트 원문주소
개요
- 항등식\[\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(q^2;q^2)_{n}q^{n(n+1)/2}}{ (q)_{n}^2}=\frac{(-q)_{\infty}}{(q^2;q^4)_{\infty}}\]
항등식의 분류
켤레 베일리 쌍의 유도
- q-가우스 합 에서 얻어진 다음 결과를 이용\[\delta_n=\frac{(y)_n(z)_n x^n}{y^n z^n}\], \(\gamma_n=\frac{(x/y;q)_{\infty}(x/z;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}(x/yz;q)_{\infty}}\frac{(y)_n(z)_n x^n}{(x/y)_{n}(x/z)_{n}y^n z^n}\)\[\gamma_{n}=\sum_{r=0}^{\infty}\frac{\delta_{n+r}}{(x)_{r+2n}(q)_{r}}\]
- 다음 특별한 경우\[x=q^2, y=-q, z\to\infty\].
- 얻어진 켤레 베일리 쌍 (슬레이터 2 와 같음)\[\delta_n=(-q)_{n}q^{\frac{n(n+1)}{2}}=\frac{(q^2;q^2)_{n}}{(q)_{n}}q^{\frac{n(n+1)}{2}}\]\[\gamma_n=\frac{(-q)_{\infty}}{(q^2)_{\infty}}q^{\frac{n(n+1)}{2}}\]
베일리 쌍의 유도
- 다음을 이용\[\sum_{r=0}^{n}\frac{(1-aq^{2r})(-1)^{r}q^{\frac{1}{2}(r^2+r)}(a)_{r}(c)_{r}(d)_{r}a^{r}}{(a)_{n+r+1}(q)_{n-r}(q)_{r}(aq/c)_{r}(aq/d)_{r}c^{r}d^{r}}=\frac{(aq/cd)_{n}}{(q)_{n}(aq/c)_{n}(aq/d)_{n}}\]
- 다음의 특수한 경우\[a=q, c\to\infty, d\to\infty\]
- 얻어진 베일리 쌍\[\alpha_{n}=\frac{(-1)^{n}q^{\frac{3}{2}n^2+\frac{1}{2}n}(1-q^{2n+1})}{1-q}\]\[\beta_n=\frac{1}{(q)_{n}}\]\[\beta_n=\sum_{r=0}^{n}\frac{\alpha_r}{(x)_{n-r}(q)_{n+r}}=\sum_{r=0}^{n}\frac{\alpha_r}{(q^{2})_{n-r}(q)_{n+r}}\]
베일리 쌍
- 베일리 쌍과 켤레 베일리 쌍\[\delta_n=(-q)_{n}q^{\frac{n(n+1)}{2}}=\frac{(q^2;q^2)_{n}}{(q)_{n}}q^{\frac{n(n+1)}{2}}\]\[\gamma_n=\frac{(-q)_{\infty}}{(q^2)_{\infty}}q^{\frac{n(n+1)}{2}}\]\[\alpha_{n}=\frac{(-1)^{n}q^{\frac{3}{2}n^2+\frac{1}{2}n}(1-q^{2n+1})}{1-q}\]\[\beta_n=\frac{1}{(q)_{n}}\]
q-series 항등식
- 항등식\[\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(q^2;q^2)_{n}q^{n(n+1)/2}}{ (q)_{n}^2}=\frac{(-q)_{\infty}}{(q^2;q^4)_{\infty}}\]
- 베일리 쌍(Bailey pair)과 베일리 보조정리\[\sum_{n=0}^{\infty}\alpha_n\gamma_{n}=\sum_{n=0}^{\infty}\beta_n\delta_{n}\]\[\sum_{n=0}^{\infty}\beta_n\delta_{n}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(q^2;q^2)_{n}q^{n(n+1)/2}}{ (q)_{n}^2}\]\[\sum_{n=0}^{\infty}\alpha_n\gamma_{n}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}q^{\frac{3}{2}n^2+\frac{1}{2}n}(1-q^{2n+1})}{1-q}\cdot \frac{(-q)_{\infty}}{(q^2)_{\infty}}q^{\frac{n(n+1)}{2}}=\frac{(-q)_{\infty}}{(q)_{\infty}}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}(q^{2n^2+n}-q^{2n^2+3n+1})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^{n}q^{2n^2+n} =\frac{(-q)_{\infty}}{(q^2;q^4)_{\infty}}\]
- [product[%281-q%5E%284n-1%29%29%281-q%5E%284n-3%29%29%281-q%5E%284n%29%29,%7Bn,1,10%7D] http://www.wolframalpha.com/input/?i=expand[product[(1-q^(4n-1))(1-q^(4n-3))(1-q^(4n)),{n,1,10}]]]
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
베테 타입 방정식 (cyclotomic equation)
Let \(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{q^{n(an+b)/2}}{ \prod_{j=1}^{r}(q^{c_j};q^{d_j})_n^{e_j}}=\sum_{N=0}^{\infty} a_N q^{N}\).
Then \(\prod_{j=1}^{r}(1-x^{d_j})^{e_j}=x^a\) has a unique root \(0<\mu<1\). We get
\(\log^2 a_N \sim 4N\sum_{j=1}^{r}\frac{e_j}{d_j}L(1-\mu^{d_j})\)
\((1-x)^2(1-x^2)^{-1}=x^{1}\)
다이로그 항등식
\(4L(x)-L(x^2)=\frac{\pi^2}{4}\)
\(x=\sqrt{2}-1\)