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==개요==
  
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* 1680년경 발견된 파이의 무한급수 표현
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:<math>1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,-\, \cdots \;=\; \frac{\pi}{4}</math>
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==그레고리-라이프니츠 급수를 이용한 파이값의 계산==
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그레고리-라이프니츠 급수의 처음 5000개의 항을 더했을 때 나타나는 현상은 다음과 같다
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:<math>4\sum_{k=1}^{5000}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=3.141392653591793238362643395479500114198179\cdots</math>
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실제 원주율과 비교하면, 다음과 같은 현상을 발견할 수 있다 :
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3.141'''3'''926535'''91'''793238'''3'''626433'''954'''7950'''011'''4198179… (위의 급수)
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3.141'''5'''926535'''89'''793238'''4'''626433'''832'''7950'''288'''4197169… (원래 파이값)
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이제 왜 이런 현상이 일어났는가 설명하기 위해 [[오일러수]]라는 것을 정의하자. 이 수는 시컨트 함수의 맥클로린 급수의 계수를 통하여 다음과 같이 정의된다.
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:<math>\sec x = 1 + \frac {x^2} {2} + \frac {5 x^4} {24} + \frac {61 x^6} {720} + \cdots=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n E_{2n} x^{2n}}{(2n)!}</math>
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처음 몇 개의 [[오일러 수]]는 다음과 같다.
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:<math>
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\begin{array}{c|c}
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n & E_n \\
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2 & -1 \\
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4 & 5 \\
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6 & -61 \\
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8 & 1385 \\
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10 & -50521 \\
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12 & 2702765
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\end{array}
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이제 다시 본론으로 돌아가서, 라이프니츠 급수의 오차항에 대해 알아보자. 오일러수를 사용하면, 이 급수와 수렴값의 차이를 다음과 같이 표현할 수 있다.
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:<math>\pi-4\sum_{k=1}^{N/2}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1 }\sim \sum_{m=0}^{\infty}\frac{2E_{2m}}{N^{2m+1}}=\frac{2}{N}-\frac{2}{N^3}+\frac{10}{N^5}-\frac{122}{N^7}+\frac{2770}{N^9}-\frac{101042}{N^{11}}+\cdots</math>
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수학적으로 엄밀하게 말하자면 오른쪽의 급수는 수렴하지 않고, 다음과 같은 정도로 그 크기를 표현할 수 있다.
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:<math>4\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1 }=(-1)^n\sum_{k=0}^{M}\frac{2E_{2k}}{(2n)^{2k+1}}+R(M)</math>
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여기서 <math>|R(M)| \leq \frac{2|E_{2k}|}{(2n)^{2M+1}}</math>
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따라서 <math>N=10^{l}</math> 일때,  (4배한) 라이프니츠급수와 파이의 자릿수는 소수점 <math>l</math>번째(또는 그 앞) 자리에서 처음 다르게 나타난다.
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오차항에 대해서는 <math>2E_{2(M+1)}</math>과 <math>10^{2l}</math> 의 자릿수가 엇비슷해지는 <math>M</math>을 찾았을때 <math>k=M</math> 까지 오차항을 계산하면 파이의 자릿수를 어느 정도 얻을 수 있겠다.
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라이프니츠 급수로도 오일러수를 통한 보정으로 파이의 자릿수를 소수점아래 <math>(2M+1)l</math> 자리까지는 얻을 수 있다는 얘기다.
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이렇게 하고 끝을 맺으면, 뭔가 얻은거 같은 느낌이 없을 가능성이 높으므로 쉬운 예를 통해서 이해해보자.
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===예===
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<math>N=10^2</math> 인 경우, <math>2E_6</math>가 네자리 수이므로, <math>M=2</math> 로 두면 위의 말대로, 라이프니츠 급수를 통하여 파이의 소수점 10자리 정도의 전개정도는 얻을 수 있다.
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:<math>4\sum_{k=1}^{50}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=3.12159465259101047851\cdots</math>
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0.1'''2'''345'''6'''78'''90'''1234567890123456789012345678901234567890123456789
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3.1'''4'''159'''2'''65'''35'''8979323846… (원래 파이값)
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3.1'''2'''159'''4'''65'''25'''9101047851… (위의 급수)
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자릿수가 다른 곳의 차이를 보면, 오일러수인 2, -2, 10, -122가 나타나는 것을 볼 수 있다.
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===예===
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<math>N=10^3</math> 인 경우, <math>2E_{10}</math>이 여섯자리 수이므로, <math>M=4</math> 로 두면 위의 말대로, 라이프니츠 급수를 통하여 파이의 소수점 27자리 정도의 전개정도는 얻을 수 있다.
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:<math>4\sum_{k=1}^{500}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=3.13959265558978323858464061338053947906585258315983\cdots</math>
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0.12'''3'''45678'''9'''0123'''4'''5678'''901'''23'''4567'''89012345678901234567890123456789
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3.1'''41'''59265'''3'''5897'''9'''3238'''462'''64'''3383'''27950288419716939937510582
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3.1'''39'''59265'''5'''5897'''8'''3238'''584'''64'''0613'''38053947906585258315983
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자릿수가 다른 곳의 차이를 보면, 오일러수 2, -2, 10, -122, 2770가 나타난다.
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===예===
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<math>N=10^4</math> 인 경우, <math>E_{12}</math>가 일곱자리 수이므로, <math>M=5</math> 로 두면 위의 말대로, 라이프니츠 급수를 통하여 파이의 소수점 44자리 정도의 전개를 얻을 수 있다.
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:<math>4\sum_{k=1}^{5000}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=3.141392653591793238362643395479500114198179\cdots</math>
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0.123'''4'''5678901'''2'''345678'''90'''12345'''678'''9012'''3456'''78'''901234'''567890123456789
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3.141'''5'''926535'''89'''793238'''46'''26433'''832'''7950'''2884'''19'''716939'''937510582
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3.141'''3'''926535'''91'''793238'''36'''26433'''954'''7950'''0114'''19'''817981'''88345532196965187625458916006334194979629989247706731687
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자릿수가 다른 곳의 차이를 보면, 2, -2, 10, -122, 2770, -101042가 나타난다.
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==메모==
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* [http://bomber0.byus.net/index.php/2009/09/14/1490 라이프니츠 급수에 대한 재미있는 현상]
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==관련논문==
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* [http://www.jstor.org/stable/2324715 Pi, Euler Numbers, and Asymptotic Expansions], J. M. Borwein, P. B. Borwein and K. Dilcher, The American Mathematical Monthly, Vol. 96, No. 8 (Oct., 1989), pp. 681-687
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[[분류:원주율]]
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[[분류:에세이]]

2020년 12월 28일 (월) 02:08 기준 최신판

개요

  • 1680년경 발견된 파이의 무한급수 표현

\[1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,-\, \cdots \;=\; \frac{\pi}{4}\]


그레고리-라이프니츠 급수를 이용한 파이값의 계산

그레고리-라이프니츠 급수의 처음 5000개의 항을 더했을 때 나타나는 현상은 다음과 같다 \[4\sum_{k=1}^{5000}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=3.141392653591793238362643395479500114198179\cdots\]

실제 원주율과 비교하면, 다음과 같은 현상을 발견할 수 있다 :

3.141392653591793238362643395479500114198179… (위의 급수)

3.141592653589793238462643383279502884197169… (원래 파이값)

이제 왜 이런 현상이 일어났는가 설명하기 위해 오일러수라는 것을 정의하자. 이 수는 시컨트 함수의 맥클로린 급수의 계수를 통하여 다음과 같이 정의된다. \[\sec x = 1 + \frac {x^2} {2} + \frac {5 x^4} {24} + \frac {61 x^6} {720} + \cdots=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n E_{2n} x^{2n}}{(2n)!}\]

처음 몇 개의 오일러 수는 다음과 같다.

\[ \begin{array}{c|c} n & E_n \\ \hline 0 & 1 \\ 2 & -1 \\ 4 & 5 \\ 6 & -61 \\ 8 & 1385 \\ 10 & -50521 \\ 12 & 2702765 \end{array} \]


이제 다시 본론으로 돌아가서, 라이프니츠 급수의 오차항에 대해 알아보자. 오일러수를 사용하면, 이 급수와 수렴값의 차이를 다음과 같이 표현할 수 있다. \[\pi-4\sum_{k=1}^{N/2}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1 }\sim \sum_{m=0}^{\infty}\frac{2E_{2m}}{N^{2m+1}}=\frac{2}{N}-\frac{2}{N^3}+\frac{10}{N^5}-\frac{122}{N^7}+\frac{2770}{N^9}-\frac{101042}{N^{11}}+\cdots\]


수학적으로 엄밀하게 말하자면 오른쪽의 급수는 수렴하지 않고, 다음과 같은 정도로 그 크기를 표현할 수 있다.

\[4\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1 }=(-1)^n\sum_{k=0}^{M}\frac{2E_{2k}}{(2n)^{2k+1}}+R(M)\]

여기서 \(|R(M)| \leq \frac{2|E_{2k}|}{(2n)^{2M+1}}\)


따라서 \(N=10^{l}\) 일때, (4배한) 라이프니츠급수와 파이의 자릿수는 소수점 \(l\)번째(또는 그 앞) 자리에서 처음 다르게 나타난다.

오차항에 대해서는 \(2E_{2(M+1)}\)과 \(10^{2l}\) 의 자릿수가 엇비슷해지는 \(M\)을 찾았을때 \(k=M\) 까지 오차항을 계산하면 파이의 자릿수를 어느 정도 얻을 수 있겠다.

라이프니츠 급수로도 오일러수를 통한 보정으로 파이의 자릿수를 소수점아래 \((2M+1)l\) 자리까지는 얻을 수 있다는 얘기다.


이렇게 하고 끝을 맺으면, 뭔가 얻은거 같은 느낌이 없을 가능성이 높으므로 쉬운 예를 통해서 이해해보자.


예

\(N=10^2\) 인 경우, \(2E_6\)가 네자리 수이므로, \(M=2\) 로 두면 위의 말대로, 라이프니츠 급수를 통하여 파이의 소수점 10자리 정도의 전개정도는 얻을 수 있다. \[4\sum_{k=1}^{50}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=3.12159465259101047851\cdots\]


0.12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789

3.14159265358979323846… (원래 파이값)

3.12159465259101047851… (위의 급수)


자릿수가 다른 곳의 차이를 보면, 오일러수인 2, -2, 10, -122가 나타나는 것을 볼 수 있다.


예

\(N=10^3\) 인 경우, \(2E_{10}\)이 여섯자리 수이므로, \(M=4\) 로 두면 위의 말대로, 라이프니츠 급수를 통하여 파이의 소수점 27자리 정도의 전개정도는 얻을 수 있다.


\[4\sum_{k=1}^{500}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=3.13959265558978323858464061338053947906585258315983\cdots\]

0.12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789

3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582

3.13959265558978323858464061338053947906585258315983


자릿수가 다른 곳의 차이를 보면, 오일러수 2, -2, 10, -122, 2770가 나타난다.



예

\(N=10^4\) 인 경우, \(E_{12}\)가 일곱자리 수이므로, \(M=5\) 로 두면 위의 말대로, 라이프니츠 급수를 통하여 파이의 소수점 44자리 정도의 전개를 얻을 수 있다.

\[4\sum_{k=1}^{5000}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=3.141392653591793238362643395479500114198179\cdots\]


0.12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789

3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582

3.1413926535917932383626433954795001141981798188345532196965187625458916006334194979629989247706731687


자릿수가 다른 곳의 차이를 보면, 2, -2, 10, -122, 2770, -101042가 나타난다.


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관련논문

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