그린 함수(Green's function)

개요

• 경계 조건 또는 초기 조건이 주어진 inhomogeneous 선형미분방정식의 해를 표현하기 위한 함수
• 일반적으로는 distribution
• 예를 들어 heat kernel 은 열방정식의 그린 함수이다

복소함수론에서의 그린 함수

• 단순연결된 열린 집합 \(U\subset \mathbb{C}\)와 \(z_0\in U\)에 대한 그린 함수 \(u_{z_0} :U\backslash{\{z_0\}}\to \mathbb{R}\) 는 다음의 조건을 만족하는 조화함수로 정의된다
  • \(u_{z_0}(z)+\log |z-z_0|\)는 \(U\)에서 정의되는 조화함수
  • \(z\to \partial{U}\)일 때, \(u_{z_0}\to 0\)
• 컴팩트 리만 곡면에 대해서도 그린 함수를 정의할 수 있다
  • 리만 곡면론의 전개에 중요한 역할

unit disk에서의 예

• \(\mathbb{D}=\{z=x+iy\in \mathbb{C}:|z|< 1 \}\)와 \(z_0=0\)에 대한 그린 함수 \(u_0 : \mathbb{D}\backslash{\{0\}}\to \mathbb{R}\) 는 다음과 같이 주어진다

\[ u_0(z)=- \log |z|=-\frac{1}{2} \log (x^2+y^2) \]

포아송 방정식

• \(U\)에서 \(\Delta u=f\)이고 \(\partial{U}\)에서 \(u=0\)로 주어지는 미분방정식의 해 \(u\)를 다음과 같이 쓸 수 있다

\[ u(z)=\int_{U}u_{\zeta}(z)f(\zeta)d\zeta \]

상미분방정식에서의 응용

• http://physics.ucsc.edu/~peter/250/gf.pdf
• http://sciphy.tistory.com/964

편미분방정식에서의 응용

• Propagator, Green’s function and Correlation

열방정식

• 열방정식 heat kernel 부분에서 가져옴
• 무한한 길이의 막대를 가정 \(-\infty<x<\infty\)
• 초기조건 (\(t=0\)) 에서의 온도분포\[u(x,0)=f(x)\]
• heat kernel\[K(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \beta t}}\exp\left(-\frac{x^2}{4\beta t}\right)\]
• heat kernel 을 이용한 열방정식의 해\[u(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(y)K(x-y,t)\,dy=\frac{1}{\sqrt{2 \pi \beta t}}\int_{-\infty}^{\infty}f(y)\exp\left(-\frac{(x-y)^2}{4\beta t}\right)\,dy\]

포아송 방정식

• 라플라시안(Laplacian)

맥스웰 방정식

• 맥스웰 방정식

역사

• 1837 그린, study of the propagation of waves in a channel
• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사 연표

메모

• Green's functions and Linear Differential Equations http://www.crcpress.com/product/isbn/9781439840085;jsessionid=Unpd7Ho2GLNiLb1781kf6g**
• Green's Function Library
• Green's Function Library: Contents Infinite body, rectangular coordinate transient 1-D.

관련된 항목들

• 라플라시안(Laplacian)

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/Poisson's_equation
• The Online Encyclopaedia of Mathematics
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The World of Mathematical Equations
  • Poisson Equation

관련도서

• Courant, Richard. 1989. Methods of Mathematical Physics. Vol. 1 Vol. 1. New York: Wiley. http://www.amazon.com/Methods-Mathematical-Physics-Vol-1/dp/0471504475
  • Chapter V

리뷰논문, 에세이, 강의노트

• Bandle, C., and M. Flucher. “Harmonic Radius and Concentration of Energy; Hyperbolic Radius and Liouville’s Equations \(\Delta U = e^U \) and \(\Delta U = U^{\tfrac[[:틀:N + 2]][[:틀:N - 2]]} \).” SIAM Review 38, no. 2 (June 1, 1996): 191–238. doi:10.1137/1038039.
• Physics 415: Green's functions and complex analysis
• http://www.uh.edu/engines/epi1924.htm

관련논문

• Grossi, Massimo, and Djordjije Vujadinovic. “On the Green Function of the Annulus.” arXiv:1508.06404 [math], August 26, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.06404.
• Melnikov, Y.A., and M.Y. Melnikov. 2006. “Computability of Series Representations for Green’s Functions in a Rectangle.” Engineering Analysis with Boundary Elements 30 (9) (September): 774–780. doi:10.1016/j.enganabound.2006.03.010.
• Jacobson, A. W. 1950. “The Green’s Functions for the Rectangle Obtained by the Finite Fourier Transformations.” Proceedings of the American Mathematical Society 1 (5) (October 1): 682–686. doi:10.2307/2032301.

메타데이터

위키데이터

• ID : Q827688

Spacy 패턴 목록

• [{'LOWER': 'poisson'}, {'LOWER': "'s"}, {'LEMMA': 'equation'}]