"다면체에 대한 오일러의 정리 V-E+F=2"의 두 판 사이의 차이

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<h5>간단한 소개</h5>
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==개요==
  
 
* 정다면체의 점의 개수, 선의 개수, 면의 개수를 세서, (점의 개수) - (선의 개수)+ (면의 개수)의 값을 계산해 보면, 어떤 정다면체인가에 관계없이 2가 됨.
 
* 정다면체의 점의 개수, 선의 개수, 면의 개수를 세서, (점의 개수) - (선의 개수)+ (면의 개수)의 값을 계산해 보면, 어떤 정다면체인가에 관계없이 2가 됨.
  
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| 다면체
 
| 다면체
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| 그림
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| 점 <em style="">V</em>
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| 점 <em>V</em>
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| 선 <em style="">E</em>
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| 선 <em>E</em>
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| 면 <em style="">F</em>
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| 면 <em>F</em>
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| <em style="">V-E+F</em>
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| <em>V-E+F</em>
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| 한점에서의 외각 <em style="">A</em>
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| 한점에서의 외각 <em>A</em>
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| 외각의 총합 <em style="">V × A</em>
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| 외각의 총합 <em>V × A</em>
 
 
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| 정사면체
 
| 정사면체
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| [[|Tetrahedron]]
 
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| 6
 
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| 4-6+4=2
 
| 4-6+4=2
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| <math>2\pi-3\times\frac{\pi}{3}=\pi</math>
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| <math>2\pi-3 \times \frac{\pi}{3}=\pi</math>
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| <math>4\times\pi=4\pi</math>
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| <math>4\times \pi = 4\pi</math>
 
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| 정육면체
 
| 정육면체
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| [[|Hexahedron (cube)]]
 
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| 8
 
| 8
 
| 12
 
| 12
 
| 6
 
| 6
 
| 8-12+6=2
 
| 8-12+6=2
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| <math>2\pi-3\times\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}</math>
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| <math>2\pi-3 \times \frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}</math>
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| <math>8\times\frac{\pi}{2}=4\pi</math>
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| <math>8\times \frac{\pi}{2} = 4\pi</math>
 
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| 정팔면체
 
| 정팔면체
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| [[|Octahedron]]
 
  
 
| 6
 
| 6
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| 8
 
| 6-12+8=2
 
| 6-12+8=2
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| <math>2\pi-4\times\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}</math>
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| <math>2\pi-4 \times \frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}</math>
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| <math>6\times\frac{2\pi}{3}=4\pi</math>
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| <math>6\times \frac{2\pi}{3} = 4\pi</math>
 
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| 정십이면체
 
| 정십이면체
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| [[|Dodecahedron]]
 
  
 
| 20
 
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| 12
 
| 12
 
| 20-30+12=2
 
| 20-30+12=2
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| <math>2\pi-3\times\frac{3\pi}{5}=\frac{\pi}{5}</math>
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| <math>2\pi-3 \times \frac{3\pi}{5}=\frac{\pi}{5}</math>
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| <math>20\times\frac{\pi}{5}=4\pi</math>
+
| <math>20\times \frac{\pi}{5} = 4\pi</math>
 
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| 정이십면체
 
| 정이십면체
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| [[|Icosahedron]]
 
  
 
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| 20
 
| 20
 
| 12-30+20=2
 
| 12-30+20=2
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| <math>2\pi-5\times\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3}</math>
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| <math>2\pi-5 \times \frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3}</math>
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| <math>12\times\frac{\pi}{3}=4\pi</math>
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| <math>12\times \frac{\pi}{3} = 4\pi</math>
 
|}
 
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* 그림을 통한 증명
 
  
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[/pages/2584866/attachments/1127450 eulerani.gif]
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* 여기서 어느 정다면체나  <math>V-E+F=2</math> 가 됨을 확인할 수 있다.
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* 이 사실은 정다면체뿐 아니라, 구면과 위상적으로 같은 성질을 갖는 다면체에 대해서도 적용됨.
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==증명==
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* 먼저 다면체를 구 위에 그려진 그래프로 이해하자. 즉, 꼭지점들을 구면에 배치하고 선분들을 구면위에 그어진 것으로 이해한다.
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* 그 다음 구에서 평면으로 가는 사영을 생각해 보자.
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*  그러면 평면상의 그래프를 하나 얻게 된다.
  
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이 영상에서 서로 다른 방(면)들은 칸막이(선)에 의해 구분되어 있음.
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* 이제 평면상의 그래프를 통해 V,E,F를 세면 된다.
  
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칸막이를 하나 없애면, 방의 개수가 하나 줄어들게 됨. 즉 V-E+F 의 값이 계속 보존됨.
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[[파일:2584866-eulerani.gif]]
  
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이 작업을 반복해 칸막이를 모두 없애게 되면, 마지막에는 트리 형태의 도형이 남게 됨.
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* 이 영상에서 서로 다른 방(면)들은 칸막이(선)에 의해 구분되어 있는데, 칸막이를 하나 없애면, 방의 개수가 하나 줄어들게 된다.
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* 다시 말해서 V-E+F 의 값이 계속 보존된다.
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* 이 작업을 반복해 칸막이를 모두 없애게 되면, 마지막에는 트리 형태의 도형이 남게 된다.
  
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<h5>재미있는 사실</h5>
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==재미있는 사실==
  
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* 얼핏 보면 간단한 사실임에도, 이 사실은 정다면체에 많은 관심을 가졌던 고대그리스인들의 눈에 띄지 않았고, 오랜 시간이 지난후에야 오일러에 의하여 발견
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** [http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=%EC%98%A4%EC%9D%BC%EB%9F%AC%EC%A0%95%EB%A6%AC http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=오일러정리]
  
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<h5>관련된 단원</h5>
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==관련된 단원==
  
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<h5>관련된 다른 주제들</h5>
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==관련된 항목들==
  
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* [[오일러의 공식 e^{iπ}+1=0|또다른 오일러의 공식]]<br>
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* [[오일러의 공식]] <math>e^{i \pi} +1 = 0</math>
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** <math>e^{i \pi} +1 = 0</math>
 
 
* [[볼록다면체에 대한 데카르트 정리]]
 
* [[볼록다면체에 대한 데카르트 정리]]
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* [[가우스-보네 정리]]
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* [[종수(genus)와 오일러 표수]]
  
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<h5>관련도서 및 추천도서</h5>
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==관련도서==
  
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* [http://www.amazon.com/Eulers-Gem-Polyhedron-Formula-Topology/dp/0691126771 Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology]<br>
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* [http://www.amazon.com/Eulers-Gem-Polyhedron-Formula-Topology/dp/0691126771 Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology]
 
** David S. Richeson
 
** David S. Richeson
 
** 일반적인 독자를 위한 책이나 학부생이 읽어도 좋을듯.
 
** 일반적인 독자를 위한 책이나 학부생이 읽어도 좋을듯.
  
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<h5>관련된 고교수학 또는 대학수학</h5>
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==관련된 고교수학 또는 대학수학==
  
 
* [[대수적위상수학]]
 
* [[대수적위상수학]]
  
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<h5>참고할만한 자료</h5>
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==블로그==
  
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* [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/01/09/510 다면체에 대한 데카르트-오일러 정리]<br>
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* [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/01/09/510 다면체에 대한 데카르트-오일러 정리]
 
** 피타고라스의 창
 
** 피타고라스의 창
  
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<h5>동영상 강좌</h5>
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[[분류:중학수학]]
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[[분류:구면기하학]]

2020년 12월 28일 (월) 02:10 기준 최신판

개요

  • 정다면체의 점의 개수, 선의 개수, 면의 개수를 세서, (점의 개수) - (선의 개수)+ (면의 개수)의 값을 계산해 보면, 어떤 정다면체인가에 관계없이 2가 됨.
다면체 점 V 선 E 면 F V-E+F 한점에서의 외각 A 외각의 총합 V × A
정사면체 4 6 4 4-6+4=2 \(2\pi-3 \times \frac{\pi}{3}=\pi\) \(4\times \pi = 4\pi\)
정육면체 8 12 6 8-12+6=2 \(2\pi-3 \times \frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}\) \(8\times \frac{\pi}{2} = 4\pi\)
정팔면체 6 12 8 6-12+8=2 \(2\pi-4 \times \frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}\) \(6\times \frac{2\pi}{3} = 4\pi\)
정십이면체 20 30 12 20-30+12=2 \(2\pi-3 \times \frac{3\pi}{5}=\frac{\pi}{5}\) \(20\times \frac{\pi}{5} = 4\pi\)
정이십면체 12 30 20 12-30+20=2 \(2\pi-5 \times \frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3}\) \(12\times \frac{\pi}{3} = 4\pi\)
  • 여기서 어느 정다면체나 \(V-E+F=2\) 가 됨을 확인할 수 있다.
  • 이 사실은 정다면체뿐 아니라, 구면과 위상적으로 같은 성질을 갖는 다면체에 대해서도 적용됨.



증명

  • 먼저 다면체를 구 위에 그려진 그래프로 이해하자. 즉, 꼭지점들을 구면에 배치하고 선분들을 구면위에 그어진 것으로 이해한다.
  • 그 다음 구에서 평면으로 가는 사영을 생각해 보자.
  • 그러면 평면상의 그래프를 하나 얻게 된다.
  • 이제 평면상의 그래프를 통해 V,E,F를 세면 된다.

2584866-eulerani.gif

  • 이 영상에서 서로 다른 방(면)들은 칸막이(선)에 의해 구분되어 있는데, 칸막이를 하나 없애면, 방의 개수가 하나 줄어들게 된다.
  • 다시 말해서 V-E+F 의 값이 계속 보존된다.
  • 이 작업을 반복해 칸막이를 모두 없애게 되면, 마지막에는 트리 형태의 도형이 남게 된다.


재미있는 사실


관련된 단원

관련된 항목들


관련도서


관련된 고교수학 또는 대학수학


블로그

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