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==개요==
  
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* 실계수 대칭행렬의 spectral 정리
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* 실계수 이차형식의 분류
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* [[이차곡선과 회전변환]]
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* 대칭행렬은 실수계수 에르미트 행렬이다 ([[에르미트 행렬(Hermitian matrix)과 대각화]] 항목 참조)
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==spectral 정리==
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* <math>n\times n</math> 대칭행렬 A에 대하여 다음이 성립한다
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** 행렬 A는 n개(counting multiplicity)의 실수인 고유값을 갖는다
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** 행렬 A의 서로 다른 고유값에 대응하는 고유벡터들은 직교한다
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** 행렬 A는 직교대각화 가능하다
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==실계수 이차형식의 분류==
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* <math>n\times n</math> 대칭행렬 <math>A</math>로부터 이차형식 <math>Q(\mathbf{x})=\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x}</math> 를 얻을 수 있다
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*  실계수 이차형식을 크게 다음과 같이 분류한다
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** 양의 정부호(positive definite) 모든 <math>\mathbf{x}\neq 0</math>에 대하여 <math>Q(\mathbf{x})>0</math>가 성립
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** 음의 정부호(negative definite) 모든 <math>\mathbf{x}\neq 0</math>에 대하여 <math>Q(\mathbf{x})<0</math>가 성립
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** indefinite <math>Q(\mathbf{x})</math>가 양수값, 음수값을 모두 가질 수 있는 경우
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* [[대칭 겹선형 형식과 이차형식]]
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;정리 (실베스터)
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크기가 <math>n</math>인 대칭행렬 <math>A</math>의 양의 고유값, 음의 고유값, 고유값 0의 개수를 각각 <math>s_{+}(A),s_{-}(A),s_{0}(A)</math>라 두자. 크기 <math>n</math>의 임의의 가역행렬 <math>S</math>와 대칭행렬 <math>B=S^{T}AS</math>에 대하여 다음이 성립한다
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:<math>
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\left(s_{+}(A),s_{-}(A),s_{0}(A)\right)=\left(s_{+}(B),s_{-}(B),s_{0}(B)\right)
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==예==
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<math>A=\left( \begin{array}{cc}  1 & 2 \\  2 & 1 \end{array} \right)</math> 의 직교대각화
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<math>P=\left( \begin{array}{cc}  \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\  \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array} \right)</math> 의 각 열은 A의 고유벡터가 된다. P는 직교행렬, 즉 <math>P^T=P^{-1}</math> 을 만족시킨다.
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<math>D=P^{-1} A P=P^{T} A P =\left( \begin{array}{cc}  3 & 0 \\  0 & -1 \end{array} \right)</math>
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<math>A=\left( \begin{array}{ccc}  3 & -2 & 4 \\  -2 & 6 & 2 \\  4 & 2 & 3 \end{array} \right)</math> 의 직교대각화
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<math>P=\left( \begin{array}{ccc}  \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{3 \sqrt{2}} & -\frac{2}{3} \\  0 & \frac{2 \sqrt{2}}{3} & -\frac{1}{3} \\  \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{3 \sqrt{2}} & \frac{2}{3} \end{array} \right)</math> 의 각 열은 A의 고유벡터가 되며, P는 직교행렬, 즉 <math>P^T=P^{-1}</math> 을 만족시킨다.
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<math>D=P^{-1} A P=P^{T} A P =\left( \begin{array}{ccc}  7 & 0 & 0 \\  0 & 7 & 0 \\  0 & 0 & -2 \end{array} \right)</math>
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==판별식 함수==
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* <math>b^2-ac</math>는 이차형식으로, 다음의 대칭행렬에 대응된다
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A=\left(
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\right)</math> 의 각 열은 A의 고유벡터가 되며, P는 직교행렬, 즉 <math>P^T=P^{-1}</math> 을 만족시킨다.
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<math>D=P^{-1} A P=P^{T} A P =\left(
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0 & -\frac{1}{2} & 0 \\
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==이차형식으로서의 행렬식==
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* <math>2\times 2</math> 행렬의 행렬식 <math>ad-bc</math>를 이차형식으로 생각할 때, 이는 다음 대칭행렬에 대응된다
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:<math>
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\left(
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0 & 0 & -\frac{1}{2} & 0 \\
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0 & -\frac{1}{2} & 0 & 0 \\
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</math>
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* 이를 대각화하면 다음을 얻는다
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:<math>
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\left(
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-\frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \\
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0 & -\frac{1}{2} & 0 & 0 \\
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0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\
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\end{array}
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\right)
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</math>
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==역사==
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* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
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* [[수학사 연표]]
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==메모==
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* Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
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==관련된 항목들==
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* [[다항식의 판별식(discriminant)]]
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* [[에르미트 행렬(Hermitian matrix)과 대각화]]
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* [[이차곡선과 회전변환]]
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* [[이차형식]]
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* [[헤세 판정법]]
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* [[완전제곱식 만들기]]
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
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* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxT2gybGJBS1lOU0k/edit
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==사전 형태의 자료==
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/대칭행렬
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* http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Symmetric_matrix
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Sylvester's_law_of_inertia
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[[분류:선형대수학]]
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==메타데이터==
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===위키데이터===
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* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q547432 Q547432]
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===Spacy 패턴 목록===
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* [{'LEMMA': 'Sylvester'}]

2021년 2월 17일 (수) 04:02 기준 최신판

개요


spectral 정리

  • \(n\times n\) 대칭행렬 A에 대하여 다음이 성립한다
    • 행렬 A는 n개(counting multiplicity)의 실수인 고유값을 갖는다
    • 행렬 A의 서로 다른 고유값에 대응하는 고유벡터들은 직교한다
    • 행렬 A는 직교대각화 가능하다



실계수 이차형식의 분류

  • \(n\times n\) 대칭행렬 \(A\)로부터 이차형식 \(Q(\mathbf{x})=\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x}\) 를 얻을 수 있다
  • 실계수 이차형식을 크게 다음과 같이 분류한다
    • 양의 정부호(positive definite) 모든 \(\mathbf{x}\neq 0\)에 대하여 \(Q(\mathbf{x})>0\)가 성립
    • 음의 정부호(negative definite) 모든 \(\mathbf{x}\neq 0\)에 대하여 \(Q(\mathbf{x})<0\)가 성립
    • indefinite \(Q(\mathbf{x})\)가 양수값, 음수값을 모두 가질 수 있는 경우
  • 대칭 겹선형 형식과 이차형식


정리 (실베스터)

크기가 \(n\)인 대칭행렬 \(A\)의 양의 고유값, 음의 고유값, 고유값 0의 개수를 각각 \(s_{+}(A),s_{-}(A),s_{0}(A)\)라 두자. 크기 \(n\)의 임의의 가역행렬 \(S\)와 대칭행렬 \(B=S^{T}AS\)에 대하여 다음이 성립한다 \[ \left(s_{+}(A),s_{-}(A),s_{0}(A)\right)=\left(s_{+}(B),s_{-}(B),s_{0}(B)\right) \]


예

\(A=\left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} \right)\) 의 직교대각화

\(P=\left( \begin{array}{cc} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array} \right)\) 의 각 열은 A의 고유벡터가 된다. P는 직교행렬, 즉 \(P^T=P^{-1}\) 을 만족시킨다.

\(D=P^{-1} A P=P^{T} A P =\left( \begin{array}{cc} 3 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right)\)



예

\(A=\left( \begin{array}{ccc} 3 & -2 & 4 \\ -2 & 6 & 2 \\ 4 & 2 & 3 \end{array} \right)\) 의 직교대각화

\(P=\left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{3 \sqrt{2}} & -\frac{2}{3} \\ 0 & \frac{2 \sqrt{2}}{3} & -\frac{1}{3} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{3 \sqrt{2}} & \frac{2}{3} \end{array} \right)\) 의 각 열은 A의 고유벡터가 되며, P는 직교행렬, 즉 \(P^T=P^{-1}\) 을 만족시킨다.

\(D=P^{-1} A P=P^{T} A P =\left( \begin{array}{ccc} 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{array} \right)\)


판별식 함수

  • \(b^2-ac\)는 이차형식으로, 다음의 대칭행렬에 대응된다

\[ A=\left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & -\frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ -\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ \end{array} \right) \]

\(P=\left( \begin{array}{ccc} 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{array} \right)\) 의 각 열은 A의 고유벡터가 되며, P는 직교행렬, 즉 \(P^T=P^{-1}\) 을 만족시킨다.

\(D=P^{-1} A P=P^{T} A P =\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} \\ \end{array} \right)\)


이차형식으로서의 행렬식

  • \(2\times 2\) 행렬의 행렬식 \(ad-bc\)를 이차형식으로 생각할 때, 이는 다음 대칭행렬에 대응된다

\[ \left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & -\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & -\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) \]

  • 이를 대각화하면 다음을 얻는다

\[ \left( \begin{array}{cccc} -\frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\ \end{array} \right) \]


역사



메모



관련된 항목들




매스매티카 파일 및 계산 리소스



사전 형태의 자료

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LEMMA': 'Sylvester'}]
원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=실계수_대칭행렬의_대각화&oldid=52227"