"동차다항식(Homogeneous polynomial)"의 두 판 사이의 차이

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==개요==
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* 변수의 개수가 <math>n</math>이고, 차수가 <math>d</math>인 동차다항식이 이루는 벡터공간의 차원은 <math>_n H_d= {n+d-1\choose d}</math>이다
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* [[중복조합의 공식 H(n,r)=C(n+r-1,r)]]
  
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==예==
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* <math>n=3</math>이고 차수 <math>d=4</math>인 동차다항식이 이루는 15차원 벡터공간의 기저
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:<math>
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\left\{x_1^4,x_1^3 x_2,x_1^2 x_2^2,x_1 x_2^3,x_2^4,x_1^3 x_3,x_1^2 x_2 x_3,x_1 x_2^2 x_3,x_2^3 x_3,x_1^2 x_3^2,x_1 x_2 x_3^2,x_2^2 x_3^2,x_1 x_3^3,x_2 x_3^3,x_3^4\right\}
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</math>
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==오일러 항등식==
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* 차수가 <math>d</math>인 <math>n</math>변수 동차다항식 <math>f</math>에 대하여, 다음이 성립한다
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:<math>\sum_{i=1}^{n}x_i \frac{\partial f}{\partial x_i}=d f</math>
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* 예를 들어 차수가 <math>d</math>인 3변수 동차다항식 <math>f</math>에 대하여, 다음이 성립한다
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:<math>x \frac{\partial f(x,y,z)}{\partial x}+y \frac{\partial f(x,y,z)}{\partial y}+z \frac{\partial f(x,y,z)}{\partial z}=d f(x,y,z)</math>
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==조화다항식==
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* <math>P^{(d)}\subseteq \mathbb{R}[x_1,\cdots, x_n]</math> 차수가 <math>d</math>인 동차다항식이 이루는 벡터공간
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* [[라플라시안(Laplacian)]] <math>\Delta : P^{(d)} \to P^{(d-2)}</math>를 다음과 같이 정의
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:<math>\Delta f = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2}</math>
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* <math>H^{(d)}:=\ker \Delta </math>의 원소를 <math>d</math>차 조화다항식이라 한다
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* [[조화다항식(harmonic polynomial)]] 항목 참조
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==메모==
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* Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
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==관련된 항목들==
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* [[대칭다항식]]
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* [[조화다항식(harmonic polynomial)]]
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* [[완전 동차 대칭 다항식 (complete homogeneous symmetric polynomial)]]
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
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* https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxNzVmZWE2NTYtNjNlMi00MTI2LWE1YTgtNDJjMWFlOWEwZGVi&sort=name&layout=list&num=50

2020년 12월 28일 (월) 03:13 기준 최신판

개요


예

  • \(n=3\)이고 차수 \(d=4\)인 동차다항식이 이루는 15차원 벡터공간의 기저

\[ \left\{x_1^4,x_1^3 x_2,x_1^2 x_2^2,x_1 x_2^3,x_2^4,x_1^3 x_3,x_1^2 x_2 x_3,x_1 x_2^2 x_3,x_2^3 x_3,x_1^2 x_3^2,x_1 x_2 x_3^2,x_2^2 x_3^2,x_1 x_3^3,x_2 x_3^3,x_3^4\right\} \]


오일러 항등식

  • 차수가 \(d\)인 \(n\)변수 동차다항식 \(f\)에 대하여, 다음이 성립한다

\[\sum_{i=1}^{n}x_i \frac{\partial f}{\partial x_i}=d f\]

  • 예를 들어 차수가 \(d\)인 3변수 동차다항식 \(f\)에 대하여, 다음이 성립한다

\[x \frac{\partial f(x,y,z)}{\partial x}+y \frac{\partial f(x,y,z)}{\partial y}+z \frac{\partial f(x,y,z)}{\partial z}=d f(x,y,z)\]


조화다항식

  • \(P^{(d)}\subseteq \mathbb{R}[x_1,\cdots, x_n]\) 차수가 \(d\)인 동차다항식이 이루는 벡터공간
  • 라플라시안(Laplacian) \(\Delta : P^{(d)} \to P^{(d-2)}\)를 다음과 같이 정의

\[\Delta f = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2}\]


메모



관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스

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