라마누잔의 class invariants

개요

• 라마누잔이 많은 계산 결과를 남겨놓은 분야
• 자연수 \(n\)에 대한 다음과 같은 함수값의 계산 (singular moduli)

\[ G_n:=2^{-1/4}\mathfrak{f}(\sqrt{-n})\\ g_n:=2^{-1/4}\mathfrak{f}_1(\sqrt{-n})=2^{-1/4}\frac{\eta(\frac{\sqrt{-n}}{2})}{\eta(\sqrt{-n})} \]

• 유체론(class field theory)에서 중요한 역할을 함

기호

• nome \(q=e^{2\pi i \tau}\)
• 데데킨트 에타함수 \(\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})\)
• 베버(Weber) 모듈라 함수

\[\mathfrak{f}(\tau)=\frac{e^{-\frac{\pi i}{24}}\eta(\frac{\tau+1}{2})}{\eta(\tau)}=q^{-1/48} \prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n-\frac{1}{2}})\] \[\mathfrak{f}_1(\tau)=\frac{\eta(\frac{\tau}{2})}{\eta(\tau)}=q^{-1/48} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n-\frac{1}{2}})\] \[\mathfrak{f}_2(\tau)=\sqrt{2}\frac{\eta(2\tau)}{\eta(\tau)}=\sqrt{2}q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n})\]

special values

\(G_{25}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\)

\(g_{10}=\sqrt{\frac{\sqrt{5}+1}{2}}\)

\(g_{58}=\sqrt{\frac{\sqrt{29}+5}{2}}\)

class invariants의 계산

• 크로네커 극한 공식의 이용

정리

판별식이 같은 즉 \(m=b_1^2-a_1c_1=b_2^2-a_2c_2\) 인 두 양의정부호 이차형식 \(Q_1(X,Y)=a_1X^2+2b_1XY+c_1Y^2\)와 \(Q_2(X,Y)=a_2X^2+2b_2XY+c_2Y^2\) 에 대하여 다음이 성립한다 \[\lim_{s\to1^{+}}\zeta_{Q_1}(s)-\zeta_{Q_2}(s) = \lim_{s\to1^{+}}\sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\{\frac{1}{(a_1X^2+2b_1XY+c_1y^2)^s}-\frac{1}{(a_2X^2+2b_2XY+c_2y^2)^s}\} =\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\{ \sqrt{\frac{a_1}{a_2}}|\frac{\eta(\omega)}{\eta(\tau)}|^2\}\] 여기서, \[ \tau=\frac{-b_1+i\sqrt{m}}{a_1}, \omega=\frac{-b_2+i\sqrt{m}}{a_2} \]

• 다음과 같이 두고 위의 정리를 적용하자

\[m=2ac, \,Q_1(X,Y)=aX^2+2cY^2, \,Q_2(X,Y)=2aX^2+cY^2,\tau=i\sqrt\frac{2c}{a},\omega=i\sqrt{\frac{c}{2a}}=\frac{\tau}{2}\]

• 다음을 얻는다

\[\lim_{s\to1^{+}}\sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\{\frac{1}{(aX^2+2cy^2)^s}-\frac{1}{(2aX^2+cy^2)^s}\}=\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\{\sqrt{\frac{a}{2a}}|\frac{\eta(\omega)}{\eta(\tau)}|^{2}\}=\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\{ \sqrt{\frac{1}{2}}|\frac{\eta(\frac{\tau}{2})}{\eta(\tau)}|^{2}\}=\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\{ \sqrt{\frac{1}{2}}(2^{1/4}g_{\frac{2c}{a}})^{2}\}=\frac{4\pi}{\sqrt{m}}\ln g_{\frac{2c}{a}}\]

예

\(g_{58}\)의 계산

• \(K=\mathbb{Q}(\sqrt{-58})\), \(C_K\) : class group\[d_K=\Delta=b^2-4ac=-240\]인 정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)은 다음 두 개의 class를 가짐\[Q_1(x,y)=x^2+58y^2\], \(Q_2(x,y)=2x^2+29y^2\)

• 준동형사상 \(\chi \colon C_K \to \mathbb C^{*}\)에 대하여 일반화된 데데킨트 제타함수를 정의할 수 있음\[L(s, \chi) =\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{\chi(\mathfrak{a})}{N(\mathfrak{a})^s} = \sum_{A\in C_K}{\chi(A)}\zeta_K(s,A)\]
• 일반적으로 \({d_K}=d_1d_2\)에 대응되는 genus character \(\chi \colon I_K \to \mathbb C^{*}\) (\(\chi \colon C_K \to \mathbb C^{*}\)) 를 정의할 수 있는데, \(d_K=d_1d_2\), \(d_1=29,d_2=-8\) 로 두면, 다음을 얻는다\[\chi(Q_1)=\left(\frac{29}{x^2+58y^2} \right)=\left(\frac{29}{59} \right)=1\]\[\chi(Q_2)=\left(\frac{29}{2x^2+29y^2} \right)=\left(\frac{29}{31} \right)=-1\]
• 위에서 얻은 정리를 이용(\(m=58\), \(a=1\), \(c=29\) 인 경우)하면 다음을 얻는다 \[L(s, \chi) =\chi(Q_1)\zeta_K(s,Q_1)+\chi(Q_2)\zeta_K(s,Q_2)\] \(\zeta_K(s,Q_1)=\frac{1}{2}\zeta_{Q_1}(s) \quad \zeta_K(s,Q_2)=\frac{1}{2}\zeta_{Q_2}(s)\) 이므로\[L(1, \chi) =\frac{1}{2}\lim_{s\to1^{+}}\zeta_{Q_1}(s)-\zeta_{Q_2}(s)=\frac{2\pi}{\sqrt{58}}\ln g_{58}\]
• 이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식에 의하여 다음을 얻는다\[L_{d_1}(1)=\frac{2 h_1 \ln \epsilon}{\sqrt{d_1}}= \frac{2\ln \frac{5+\sqrt{29}}{2}}{\sqrt{29}}\]\[L_{d_2}(1)=\frac{2\pi h_2}{w_2 \cdot \sqrt{|d_2|}}=\frac{\pi}{2\sqrt{2}}\]
• 판별식이 작은 경우의 이차형식 목록과 실 이차수체(real quadratic field) 의 class number와 fundamental unit 항목을 참조

• 데데킨트 제타함수에서 얻은 결과 \(L(s, \chi) =L_{d_1}(s)L_{d_2}(s)\) 를 이용하면 다음을 얻는다\[L(1, \chi) =L_{d_1}(1)L_{d_2}(1)=\frac{\pi \ln \frac{5+\sqrt{29}}{2}}{\sqrt{58}}\]
• 위의 \(L(1, \chi)\) 에 대한 두 표현을 비교하여 다음을 얻는다\[g_{58}=\sqrt{\frac{\sqrt{29}+5}{2}}\]

오일러의 convenient 수

• 다음 오일러의 convenient number ( Idoneal number) 에 대해서는 \(g_{58}\)을 구하는 것과 똑같은 방법을 적용하여 \(g_{n}\) 을 계산할 수 있음
• n=10,{x^2+10 y^2,2 x^2+5 y^2}
• n=18,{x^2+18 y^2,2 x^2+9 y^2}
• n=22,{x^2+22 y^2,2 x^2+11 y^2}
• n=28,{x^2+28 y^2,4 x^2+7 y^2}
• n=30,{x^2+30 y^2,2 x^2+15 y^2,3 x^2+10 y^2,5 x^2+6 y^2}
• n=42,{x^2+42 y^2,2 x^2+21 y^2,3 x^2+14 y^2,6 x^2+7 y^2}
• n=58,{x^2+58 y^2,2 x^2+29 y^2}
• n=60,{x^2+60 y^2,3 x^2+20 y^2,4 x^2+15 y^2,5 x^2+12 y^2}
• n=70,{x^2+70 y^2,2 x^2+35 y^2,5 x^2+14 y^2,7 x^2+10 y^2}
• n=78,{x^2+78 y^2,2 x^2+39 y^2,3 x^2+26 y^2,6 x^2+13 y^2}
• n=102,{x^2+102 y^2,2 x^2+51 y^2,3 x^2+34 y^2,6 x^2+17 y^2}
• n=130,{x^2+130 y^2,2 x^2+65 y^2,5 x^2+26 y^2,10 x^2+13 y^2}
• n=190{x^2+190 y^2,2 x^2+95 y^2,5 x^2+38 y^2,10 x^2+19 y^2}
• n=210{x^2+210 y^2,2 x^2+105 y^2,3 x^2+70 y^2,5 x^2+42 y^2,6 x^2+35 y^2,7 x^2+30 y^2,10 x^2+21 y^2,14 x^2+15 y^2}

메모

• http://scholar.google.com/scholar?q=ramanujan%27s+class+invariants&hl=ko&lr=&start=10&sa=N

\(G_n:=(2kk')^{-1/12}=2^{-1/4}f(\sqrt{-n})\)

\(g_n:=(\frac{k'(\sqrt{-n})^2}{2k(\sqrt{-n})})^{1/12}=2^{-1/4}f_1(\sqrt{-n})\)

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxQjRLV0hLODR3WjA/edit
• http://mathworld.wolfram.com/Ramanujang-andG-Functions.html

관련된 항목들

• 오일러의 convenient number ( Idoneal number)
• 라마누잔과 파이
• 로저스-라마누잔 연분수와 항등식
• Chowla-셀베르그 공식

관련도서

• Bruce C. Berndt, Ramanujan's Notebooks: V

리뷰, 에세이, 강의노트

• Villarino, Mark B. 2003. “Ramanujan’s Most Singular Modulus.” arXiv:math/0308028, August. http://arxiv.org/abs/math/0308028.

관련논문

• Ramanujan and the modular j-invariant
  • BC Berndt, HH Chan, Canadian Mathematical Bulletin, 1999
• RAMANUJAN–WEBER CLASS INVARIANT Gn AND WATSON'S EMPIRICAL PROCESS
  • Heng Huat Chan, Journal of the London Mathematical Society, 1998
• Ramanujan's Class Invariants With Applications To The Values Of q-Continued Fractions And Theta-Functions
  • Bruce C. Berndt , Heng Huat Chan , Liang-Cheng Zhang, 1997
• Ramanujan's class invariants, Kronecker's limit formula, and modular equations
  • Bruce C. Berndt , Heng Huat Chan , Liang-Cheng Zhang Transactions of the American Mathematical Society, 1997
• Ramanujan’s class invariants and cubic continued fraction
  • Bruce C. Berndt , Heng Huat Chan , Liang-Cheng Zhang, ACTA ARITHMETICA LXXIII.1 (1995)
• Some singular moduli (II)
• G.N. Watson, Q J Math 1932 os-3: 189-212
• Some singular moduli (I)
  • G.N. Watson