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| − | <math>d_n = \prod_{\substack{p\le n\\ p \mathrm{\ prime}}} p^{\lfloor \log_p n \rfloor} \le \prod_{\substack{p\le n\\ p \mathrm{\ prime}}} p^ {\log_p n} = \prod_{\substack{p\le n\\ p \mathrm{\ prime}}} n = n^{\pi(n)}</math> | + | <math>d_n = \prod_{\substack{p\le n\\ p \mathrm{\ prime}}} p^{\lfloor \log_p n \rfloor} \le \prod_{\substack{p\le n\\ p \mathrm{\ prime}}} p^ {\log_p n} = \prod_{\substack{p\le n\\ p \mathrm{\ prime}}} n = n^{\pi(n)}\approx n^{n/\log n}=e^n</math> |
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| − | * 1부터 n+1 까지의 자연수의 최소공배수를 <math>\operatorname{LCM}(n+1) | + | * 1부터 n+1 까지의 자연수의 최소공배수를 <math>\operatorname{LCM}(n+1)</math> 라 두면, 다음이 성립한다:<math>\frac{\operatorname{LCM}(n+1)}{n+1}=\operatorname{LCM}({n\choose 0}\cdots {n\choose n})</math> |
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==관련논문== | ==관련논문== | ||
* Hong, Shaofang. 2009. “Nair’s and Farhi’s identities involving the least common multiple of binomial coefficients are equivalent”. <em>0907.3401</em> (7월 20). [http://arxiv.org/abs/0907.3401 ]http://arxiv.org/abs/0907.3401 | * Hong, Shaofang. 2009. “Nair’s and Farhi’s identities involving the least common multiple of binomial coefficients are equivalent”. <em>0907.3401</em> (7월 20). [http://arxiv.org/abs/0907.3401 ]http://arxiv.org/abs/0907.3401 | ||
| − | * Farhi, Bakir, 와/과Daniel Kane. 2008. “New results on the least common multiple of consecutive integers”. <em>0808.1507</em> (8월 11). http://arxiv.org/abs/0808.1507 | + | * Farhi, Bakir, 와/과Daniel Kane. 2008. “New results on the least common multiple of consecutive integers”. <em>0808.1507</em> (8월 11). http://arxiv.org/abs/0808.1507 |
| − | + | * Hanson, Denis. 1972. “On the product of the primes”. <em><full_title>Canadian Mathematical Bulletin</full_title> <full_title>Bulletin canadien de mathématiques</full_title></em> 15 (0): 33-37. doi:[http://dx.doi.org/10.4153/CMB-1972-007-7 10.4153/CMB-1972-007-7]. | |
| − | * Hanson, Denis. 1972. “On the product of the primes”. <em><full_title>Canadian Mathematical Bulletin</full_title> <full_title>Bulletin canadien de mathématiques</full_title></em> 15 (0): 33-37. doi:[http://dx.doi.org/10.4153/CMB-1972-007-7 10.4153/CMB-1972-007-7]. | ||
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2020년 11월 12일 (목) 06:32 기준 최신판
개요
- \(d_n\)을 1부터 n 까지의 자연수의 최소공배수라 두면, \(d_n \approx e^n\)
패리수열과의 관계
- 패리 수열(Farey series)
- 1부터 n 까지의 자연수의 최소공배수 \(\operatorname{LCM}(n)\) 은, 다음과 같은 곱으로 표현할 수 있다\[\text{LCM}(n)=\prod _{r\in F_n} 2\sin \pi r\]
크기
\(d_n = \prod_{\substack{p\le n\\ p \mathrm{\ prime}}} p^{\lfloor \log_p n \rfloor} \le \prod_{\substack{p\le n\\ p \mathrm{\ prime}}} p^ {\log_p n} = \prod_{\substack{p\le n\\ p \mathrm{\ prime}}} n = n^{\pi(n)}\approx n^{n/\log n}=e^n\)
\(d_n<2.99^n\)
- 응용으로 ζ(3)는 무리수이다(아페리의 정리) 항목 참조
이항계수
- 이항계수와 조합
- 1부터 n+1 까지의 자연수의 최소공배수를 \(\operatorname{LCM}(n+1)\) 라 두면, 다음이 성립한다\[\frac{\operatorname{LCM}(n+1)}{n+1}=\operatorname{LCM}({n\choose 0}\cdots {n\choose n})\]
역사
메모
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
관련논문
- Hong, Shaofang. 2009. “Nair’s and Farhi’s identities involving the least common multiple of binomial coefficients are equivalent”. 0907.3401 (7월 20). [1]http://arxiv.org/abs/0907.3401
- Farhi, Bakir, 와/과Daniel Kane. 2008. “New results on the least common multiple of consecutive integers”. 0808.1507 (8월 11). http://arxiv.org/abs/0808.1507
- Hanson, Denis. 1972. “On the product of the primes”. <full_title>Canadian Mathematical Bulletin</full_title> <full_title>Bulletin canadien de mathématiques</full_title> 15 (0): 33-37. doi:10.4153/CMB-1972-007-7.