"뫼비우스 변환"의 두 판 사이의 차이

수학노트
둘러보기로 가기 검색하러 가기
 
(사용자 2명의 중간 판 32개는 보이지 않습니다)
1번째 줄: 1번째 줄:
<h5>간단한 소개</h5>
+
==개요==
 
+
* 복소평면 (더 정확히는 리만구면) 상의 복소수를, 또다른 복소수로 보내는 함수
* 복소평면 (더 정확히는 리만구면) 상의 복소수 z를, 또다른 복소수
+
* <math>a,b,c,d\in\Bbb{C} \mbox{ and } ad-bc \ne 0</math>일 때, 뫼비우스 변환은 다음과 같이 주어짐
 
+
: <math>f(z) = \frac{az+b}{cz+d}</math>
<math>f(z) = \frac{az+b}{cz+d}\;,\quad \mbox{where } a,b,c,d\in\Bbb{C} \mbox{ and } ad-bc \ne 0</math>
+
* 하나의 뫼비우스변환은 <math>GL(2,\mathbb{C})</math>의 원소로 표현되지만, 행렬들의 상수배정도는 모두 똑같은 역할을 하므로, 전체 뫼비우스변환군은 <math>PGL(2,\mathbb{C})</math>와 동형인 군이 됨.
 
+
* 겹선형(bilinear) 또는 linear fractional transformation 으로 불리기도 .
로 보내는 복소함수를 뫼비우스 변환이라 함. 
+
* 해석함수로 각도와 방향을 보존함.
 
 
* bilinear 또는 linear fractional transformation 으로 불리기도 함.
 
 
* 뫼비우스 변환은 복소평면보다 리만구면에 정의된 변환으로 이해하는 것이 바람직함.
 
* 뫼비우스 변환은 복소평면보다 리만구면에 정의된 변환으로 이해하는 것이 바람직함.
 
+
* 리만구면 = 1차원 [[복소사영공간]]
 
* 원이나 직선들을 모두 원이나 직선으로 보냄. (직선을 반지름이 무한대인 원으로 생각한다면, 원을 원으로 보냄.)
 
* 원이나 직선들을 모두 원이나 직선으로 보냄. (직선을 반지름이 무한대인 원으로 생각한다면, 원을 원으로 보냄.)
* 각도를 보존함.
 
 
* [[교차비(cross ratio)|교차비]]를 보존함.
 
* [[교차비(cross ratio)|교차비]]를 보존함.
 
* 기초적인 내용은 학부 수준의 복소함수론에서 배울 수 있음.
 
* 기초적인 내용은 학부 수준의 복소함수론에서 배울 수 있음.
17번째 줄: 14번째 줄:
 
* 리만구에 작용하는 뫼비우스 변환들이 이루는 군의 분류 문제는 많은 수학의 분야와 밀접하게 관련.
 
* 리만구에 작용하는 뫼비우스 변환들이 이루는 군의 분류 문제는 많은 수학의 분야와 밀접하게 관련.
  
 
+
 
 
 
 
 
 
<h5>반전사상과 뫼비우스 변환</h5>
 
 
 
* [[반전사상(inversion)]]
 
* <math>z \mapsto \frac{1}{\bar{z}}</math> 는 복소평면 상에서 고전적인 반전사상이 된다. 하지만 방향(orientation)을 보존하지 않으므로, 해석함수가 되지 않음.
 
* 뫼비우스 변환 <math>z \mapsto \frac{1}{z}</math> 는 고전적인 평면기하의 반전사상과 복소평면 상에서 x축에 대한 대칭사상의 합성으로, 방향을 보존하게 되고, 해석함수가 됨.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
<h5>한 점에서의 사영과 뫼비우스 변환</h5>
+
  
* 두 주어진 직선 A,B와 두 직선 밖의 주어진 점 <math>P'</math>가 있다.
+
==반전 사상과 뫼비우스 변환==
* 직선 A 위의 점 <math>P</math>와 <math>P'</math>를 지나는 직선이 직선 B에서 만나는 점을 <math>\pi(P)</math> 라 하자. 
 
*  <math>\pi :A \to B</math> 를 이와 같이 정의할 수 있다.
 
* 직선이 아닌 원에 대해서도 마찬가지로 정의가 가능.<br>
 
  
 
+
* [[반전 사상(inversion)]]
 +
* <math>z \mapsto \frac{1}{\bar{z}}</math> 는 복소평면 상에서 고전적인 반전 사상이 된다. 하지만 방향(orientation)을 보존하지 않으므로, 해석함수가 되지 않음.
 +
* 뫼비우스 변환 <math>z \mapsto \frac{1}{z}</math> 는 고전적인 평면기하의 반전 사상과 복소평면 상에서 x축에 대한 대칭사상의 합성으로, 방향을 보존하게 되고, 해석함수가 됨.
  
 
+
  
<h5>교차비와 뫼비우스 변환</h5>
+
  
* 뫼비우스 변환이 네 점,  <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> 를  <math>w_1,w_2,w_3,w_4</math>로 보내는 경우, 교차비는 보존됨.
+
==한 점에서의 사영과 뫼비우스 변환==
  
<math>\frac{(z_1-z_3)(z_2-z_4)}{(z_2-z_3)(z_1-z_4)} = \frac{(w_1-w_3)(w_2-w_4)}{(w_2-w_3)(w_1-w_4)}</math>
+
* 두 주어진 직선 A,B와 두 직선 밖의 주어진 점 <math>P'</math>가 있다.
 +
* 직선 A 위의 점 <math>P</math>와 <math>P'</math>를 지나는 직선이 직선 B에서 만나는 점을 <math>\pi(P)</math> 라 하자.
 +
*  <math>\pi :A \to B</math> 를 이와 같이 정의할 수 있다.
 +
*  직선이 아닌 원에 대해서도 마찬가지로 정의가 가능.[[파일:3259985-afigure006-riemann65.jpg]]
  
* 교차비는 보존하는 복소함수가 네 점  <math>z,z_2,z_3,z_4</math>를  <math>w,1,0,\infty</math>로 보낼 경우,
+
  
<math>(z,z_2;z_3,z_4) =(w,1;0,\infty)</math> 로부터 뫼비우스변환 <math>w = \frac{(z-z_3)(z_2-z_4)}{(z_2-z_3)(z-z_4)}</math> 를 유도할 수 있음.
+
  
* [[교차비(cross ratio)|교차비]] 항목 참조
+
==뫼비우스 변환과 원과 직선==
  
 
+
*  직선의 방정식
 +
** <math>ax+by+c=0, a,b,c \in \mathbb{R}</math>
 +
** <math>Bz+\bar{B}\bar{z}+c=0, z=x+iy, B=\frac{a}{2}-\frac{ib}{2}</math>
 +
** 두 표현은 같은 직선의 표현
 +
*  원의 방정식
 +
** <math>|z-z_0|=\rho</math>
 +
** <math>z\bar{z}+\bar{B}z+B\bar{z}+c=0, B=-z_0, c=|B|^2-\rho^2</math>
 +
** 두 표현은 같은 원의 표현
 +
* 따라서 <math>az\bar{z}+\bar{B}z+{B}\bar{z}+c=0, a,c\in \mathbb{R}</math> 는 원과 직선의 방정식이 됨.
 +
* 뫼비우스 변환은 이러한 형태의 식을 보존하므로, 원과 직선을 원과 직선으로 보냄.
  
 
+
  
<h5>사영기하학과 뫼비우스 변환</h5>
+
  
 
+
==교차비와 뫼비우스 변환==
 +
* 뫼비우스 변환이 네 점,  <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> 를  <math>w_1,w_2,w_3,w_4</math>로 보내는 경우, 교차비는 보존됨.
 +
:<math>\frac{(z_1-z_3)(z_2-z_4)}{(z_2-z_3)(z_1-z_4)} = \frac{(w_1-w_3)(w_2-w_4)}{(w_2-w_3)(w_1-w_4)}</math>
 +
* 교차비를 보존하는 복소함수가 네 점  <math>z,z_2,z_3,z_4</math>를  <math>w,1,0,\infty</math>로 보낼 경우, <math>(z,z_2;z_3,z_4) =(w,1;0,\infty)</math> 로부터 다음의 뫼비우스변환을 유도할 수 있음
 +
:<math>w = \frac{(z-z_3)(z_2-z_4)}{(z_2-z_3)(z-z_4)}</math>
 +
* [[교차비(cross ratio)]] 항목 참조
  
 
 
  
 
 
  
<h5>세 점</h5>
+
==세 점==
  
*  사영기하학의 관점에서 <math>\{0,1,\infty\}</math>의 선택이 좋은 이유<br>
+
*  사영기하학의 관점에서 <math>\{0,1,\infty\}</math>의 선택이 좋은 이유
* <math>0</math> 은 기준점의 역할
+
* <math>0</math> 기준점의 역할
* <math>1</math> 은 단위길이를 결정
+
* <math>1</math> 단위길이를 결정
  
 
+
The first set of fixed points is {0, 1, ∞}. However, the cross-ratio can never take on these values if the points {z<sub style="line-height: 1em;">i</sub>} are all distinct. These values are limit values as one pair of coordinates approach each other:
  
 
+
: <math>(z,z_2;z,z_4) = (z_1,z;z_3,z) = 0\,</math>
 +
: <math>(z,z;z_3,z_4) = (z_1,z_2;z,z) = 1\,</math>
 +
: <math>(z,z_2;z_3,z) = (z_1,z;z,z_4) = \infty.</math>
  
 
+
  
<h5>메모</h5>
+
  
*  Cross ratio<br>
+
==메모==
 +
* 사영기하학과 뫼비우스 변환
 +
*  Cross ratio
 
** central projection and cross ratio
 
** central projection and cross ratio
 
** inversion and cross ratio
 
** inversion and cross ratio
* application to Butterfly
+
* Steiner's theorem
  
 
+
  
==== 하위페이지 ====
+
  
* [[뫼비우스 변환군과 기하학]]<br>
+
==관련된 고교수학 또는 대학수학==
** [[교차비(cross ratio)|교차비]]<br>
 
  
 
+
* [[복소함수론]]
 +
* [[미분기하학]]
 +
* 3차원 다양체
  
 
+
  
 
+
==관련된 항목들==
 
+
* [[ 케일리 뫼비우스 변환]]
<h5>재미있는 사실</h5>
+
* [[17 Plane Crystallographic groups]]
 
+
* [[유한반사군과 콕세터군(finite reflection groups and Coxeter groups)]]
 
+
* [[모듈라 군, j-invariant and the singular moduli]]
 +
* [[나비정리]]
 +
* [[반전 사상(inversion)]]
  
 
+
  
<h5>관련된 단원</h5>
+
==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
  
 
+
* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxU3RVaWt6OUJrZ3c/edit
  
 
+
 +
==리뷰, 에세이, 강의노트==
 +
* [http://www.jstor.org/stable/3616383 Finite Groups, Wallpaper Patterns and Non-Euclidean Geometries]
 +
** A. F. Beardon, <cite>The Mathematical Gazette</cite>, Vol. 62, No. 422 (Dec., 1978), pp. 267-278
  
<h5>많이 나오는 질문</h5>
 
  
*  네이버 지식인<br>
+
==관련논문==
** http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
+
* Knibbeler, Vincent, Sara Lombardo, and Jan A. Sanders. “Isotypical Components of Rational Functions.” arXiv:1511.06327 [math-Ph], November 19, 2015. http://arxiv.org/abs/1511.06327.
  
 
+
==관련도서==
  
<h5>관련된 고교수학 또는 대학수학</h5>
+
* [http://www.amazon.com/Geometry-Discrete-Groups-Graduate-Mathematics/dp/0387907882 The Geometry of Discrete Groups (Graduate Texts in Mathematics)]
 
 
* [[복소함수론]][[미분기하학|]]
 
* [[미분기하학]]
 
* 3차원 다양체
 
 
 
 
 
 
 
<h5>관련된 다른 주제들</h5>
 
 
 
* [[17 Plane Crystallographic groups]]
 
* [[유한반사군과 콕세터군(finite reflection groups and Coxeter groups)|Finite reflection groups and Coxeter groups]]
 
* [[모듈라 군, j-invariant and the singular moduli|The modular group, j-invariant and the singular moduli]]
 
* [[나비정리]]
 
* [[반전사상(inversion)]]
 
*  
 
 
 
 
 
 
 
<h5>관련도서 및 추천도서</h5>
 
 
 
* [http://www.amazon.com/Geometry-Discrete-Groups-Graduate-Mathematics/dp/0387907882 The Geometry of Discrete Groups (Graduate Texts in Mathematics)]<br>
 
 
** Alan F. Beardon
 
** Alan F. Beardon
* [http://www.amazon.com/Complex-Functions-Algebraic-Geometric-Viewpoint/dp/052131366X/ref=sr_1_1?ie=UTF8&s=books&qid=1224376763&sr=1-1 Complex Functions: An Algebraic and Geometric Viewpoint]<br>
+
* [http://www.amazon.com/Complex-Functions-Algebraic-Geometric-Viewpoint/dp/052131366X/ref=sr_1_1?ie=UTF8&s=books&qid=1224376763&sr=1-1 Complex Functions: An Algebraic and Geometric Viewpoint]
**  Gareth A. Jones and David Singerman<br>
+
**  Gareth A. Jones and David Singerman
*  <br>[http://www.amazon.com/Indras-Pearls-Vision-Felix-Klein/dp/0521352533 Indra's Pearls: The Vision of Felix Klein]<br>
+
* [http://www.amazon.com/Indras-Pearls-Vision-Felix-Klein/dp/0521352533 Indra's Pearls: The Vision of Felix Klein]
 
** Mumford, David; Series, Caroline; Wright, David
 
** Mumford, David; Series, Caroline; Wright, David
*  도서내검색<br>
 
** http://books.google.com/books?q=
 
** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
 
*  도서검색<br>
 
** http://www.amazon.com/s/ref=nb_ss_gw?url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords=
 
** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
 
  
 
 
  
<h5>참고할만한 자료</h5>
 
  
* [http://www.jstor.org/stable/3616383 Finite Groups, Wallpaper Patterns and Non-Euclidean Geometries]<br>
+
==사전형태의 자료==
** A. F. Beardon
 
** <cite>The Mathematical Gazette</cite>, Vol. 62, No. 422 (Dec., 1978), pp. 267-278
 
 
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 +
* [http://en.wikipedia.org/wiki/M%C3%B6bius_transformation http://en.wikipedia.org/wiki/Möbius_transformation]
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Projective_transformation
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Projective_transformation
* http://viswiki.com/en/
 
* http://front.math.ucdavis.edu/search?a=&t=&c=&n=40&s=Listings&q=
 
* http://www.ams.org/mathscinet/search/publications.html?pg4=AUCN&s4=&co4=AND&pg5=TI&s5=&co5=AND&pg6=PC&s6=&co6=AND&pg7=ALLF&co7=AND&Submit=Search&dr=all&yrop=eq&arg3=&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&pg8=ET&s8=All&s7=
 
* 다음백과사전 http://enc.daum.net/dic100/search.do?q=
 
* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]
 
  
 
+
  
<h5>관련기사</h5>
+
==동영상==
 
+
* [http://www.youtube.com/watch?v=JX3VmDgiFnY Moebius Transformations Revealed]
*  네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br>
 
** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
 
** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
 
** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
 
** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
 
** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
<h5>블로그</h5>
 
 
 
* 구글 블로그 검색 http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=
 
* 트렌비 블로그 검색 http://www.trenb.com/search.qst?q=
 
 
 
 
 
 
 
<h5>이미지 검색</h5>
 
 
 
* http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=Special%3ASearch&search=
 
* http://images.google.com/images?q=
 
* [http://www.artchive.com/ http://www.artchive.com]
 
 
 
 
 
 
 
<h5>동영상</h5>
 
 
 
* http://www.youtube.com/results?search_type=&search_query=
 
* [http://www.youtube.com/watch?v=JX3VmDgiFnY Moebius Transformations Revealed]<br>
 
 
** Youtube
 
** Youtube
 
** 동영상으로 보는 뫼비우스 변환의 아름다움.
 
** 동영상으로 보는 뫼비우스 변환의 아름다움.
 
** 다양한 뫼비우스 변환이 처음의 사각형을 어떻게 바꾸는지를 보여줌.
 
** 다양한 뫼비우스 변환이 처음의 사각형을 어떻게 바꾸는지를 보여줌.
 
** 뫼비우스 변환은 복소평면보다 리만구면에 정의된 변환으로 이해하는 것이 바람직한 이해.
 
** 뫼비우스 변환은 복소평면보다 리만구면에 정의된 변환으로 이해하는 것이 바람직한 이해.
 +
[[분류:복소함수론]]
 +
 +
==메타데이터==
 +
===위키데이터===
 +
* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q595742 Q595742]
 +
===Spacy 패턴 목록===
 +
* [{'LOWER': 'möbius'}, {'LEMMA': 'transformation'}]

2021년 2월 17일 (수) 05:43 기준 최신판

개요

  • 복소평면 (더 정확히는 리만구면) 상의 복소수를, 또다른 복소수로 보내는 함수
  • \(a,b,c,d\in\Bbb{C} \mbox{ and } ad-bc \ne 0\)일 때, 뫼비우스 변환은 다음과 같이 주어짐

\[f(z) = \frac{az+b}{cz+d}\]

  • 하나의 뫼비우스변환은 \(GL(2,\mathbb{C})\)의 원소로 표현되지만, 행렬들의 상수배정도는 모두 똑같은 역할을 하므로, 전체 뫼비우스변환군은 \(PGL(2,\mathbb{C})\)와 동형인 군이 됨.
  • 겹선형(bilinear) 또는 linear fractional transformation 으로 불리기도 함.
  • 해석함수로 각도와 방향을 보존함.
  • 뫼비우스 변환은 복소평면보다 리만구면에 정의된 변환으로 이해하는 것이 바람직함.
  • 리만구면 = 1차원 복소사영공간
  • 원이나 직선들을 모두 원이나 직선으로 보냄. (직선을 반지름이 무한대인 원으로 생각한다면, 원을 원으로 보냄.)
  • 교차비를 보존함.
  • 기초적인 내용은 학부 수준의 복소함수론에서 배울 수 있음.
  • 리만구에 작용하는 뫼비우스 변환들이 이루는 군의 분류 문제는 많은 수학의 분야와 밀접하게 관련.



반전 사상과 뫼비우스 변환

  • 반전 사상(inversion)
  • \(z \mapsto \frac{1}{\bar{z}}\) 는 복소평면 상에서 고전적인 반전 사상이 된다. 하지만 방향(orientation)을 보존하지 않으므로, 해석함수가 되지 않음.
  • 뫼비우스 변환 \(z \mapsto \frac{1}{z}\) 는 고전적인 평면기하의 반전 사상과 복소평면 상에서 x축에 대한 대칭사상의 합성으로, 방향을 보존하게 되고, 해석함수가 됨.



한 점에서의 사영과 뫼비우스 변환

  • 두 주어진 직선 A,B와 두 직선 밖의 주어진 점 \(P'\)가 있다.
  • 직선 A 위의 점 \(P\)와 \(P'\)를 지나는 직선이 직선 B에서 만나는 점을 \(\pi(P)\) 라 하자.
  • \(\pi :A \to B\) 를 이와 같이 정의할 수 있다.
  • 직선이 아닌 원에 대해서도 마찬가지로 정의가 가능.3259985-afigure006-riemann65.jpg



뫼비우스 변환과 원과 직선

  • 직선의 방정식
    • \(ax+by+c=0, a,b,c \in \mathbb{R}\)
    • \(Bz+\bar{B}\bar{z}+c=0, z=x+iy, B=\frac{a}{2}-\frac{ib}{2}\)
    • 두 표현은 같은 직선의 표현
  • 원의 방정식
    • \(|z-z_0|=\rho\)
    • \(z\bar{z}+\bar{B}z+B\bar{z}+c=0, B=-z_0, c=|B|^2-\rho^2\)
    • 두 표현은 같은 원의 표현
  • 따라서 \(az\bar{z}+\bar{B}z+{B}\bar{z}+c=0, a,c\in \mathbb{R}\) 는 원과 직선의 방정식이 됨.
  • 뫼비우스 변환은 이러한 형태의 식을 보존하므로, 원과 직선을 원과 직선으로 보냄.



교차비와 뫼비우스 변환

  • 뫼비우스 변환이 네 점, \(z_1,z_2,z_3,z_4\) 를 \(w_1,w_2,w_3,w_4\)로 보내는 경우, 교차비는 보존됨.

\[\frac{(z_1-z_3)(z_2-z_4)}{(z_2-z_3)(z_1-z_4)} = \frac{(w_1-w_3)(w_2-w_4)}{(w_2-w_3)(w_1-w_4)}\]

  • 교차비를 보존하는 복소함수가 네 점 \(z,z_2,z_3,z_4\)를 \(w,1,0,\infty\)로 보낼 경우, \((z,z_2;z_3,z_4) =(w,1;0,\infty)\) 로부터 다음의 뫼비우스변환을 유도할 수 있음

\[w = \frac{(z-z_3)(z_2-z_4)}{(z_2-z_3)(z-z_4)}\]


세 점

  • 사영기하학의 관점에서 \(\{0,1,\infty\}\)의 선택이 좋은 이유
  • \(0\) 은 기준점의 역할
  • \(1\) 은 단위길이를 결정

The first set of fixed points is {0, 1, ∞}. However, the cross-ratio can never take on these values if the points {zi} are all distinct. These values are limit values as one pair of coordinates approach each other:

\[(z,z_2;z,z_4) = (z_1,z;z_3,z) = 0\,\] \[(z,z;z_3,z_4) = (z_1,z_2;z,z) = 1\,\] \[(z,z_2;z_3,z) = (z_1,z;z,z_4) = \infty.\]



메모

  • 사영기하학과 뫼비우스 변환
  • Cross ratio
    • central projection and cross ratio
    • inversion and cross ratio
  • Steiner's theorem



관련된 고교수학 또는 대학수학


관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스


리뷰, 에세이, 강의노트


관련논문

  • Knibbeler, Vincent, Sara Lombardo, and Jan A. Sanders. “Isotypical Components of Rational Functions.” arXiv:1511.06327 [math-Ph], November 19, 2015. http://arxiv.org/abs/1511.06327.

관련도서


사전형태의 자료


동영상

  • Moebius Transformations Revealed
    • Youtube
    • 동영상으로 보는 뫼비우스 변환의 아름다움.
    • 다양한 뫼비우스 변환이 처음의 사각형을 어떻게 바꾸는지를 보여줌.
    • 뫼비우스 변환은 복소평면보다 리만구면에 정의된 변환으로 이해하는 것이 바람직한 이해.

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'möbius'}, {'LEMMA': 'transformation'}]