"바이어슈트라스 타원함수 ℘"의 두 판 사이의 차이
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| − | + | * 2차원격자를 이루는 두 복소수 <math>\omega_1,\omega_2</math>에 대하여, <br><math>\wp(z;\omega_1,\omega_2)=\frac{1}{z^2}+ \sum_{m^2+n^2 \ne 0} \left\{ \frac{1}{(z-m\omega_1-n\omega_2)^2}- \frac{1}{\left(m\omega_1+n\omega_2\right)^2} \right\}</math><br><math>\wp(z;\omega_1,\omega_2)=\frac{1}{z^2}+ \sum_{m^2+n^2 \ne 0} \left\{ \frac{1}{(z-m\omega_1-n\omega_2)^2}- \frac{1}{\left(m\omega_1+n\omega_2\right)^2} \right\}</math><br> | |
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* 이중주기를 갖는 함수<br><math>\wp(z+\omega_1)=\wp(z+\omega_2)=\wp(z)</math><br> | * 이중주기를 갖는 함수<br><math>\wp(z+\omega_1)=\wp(z+\omega_2)=\wp(z)</math><br> | ||
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| − | + | ==℘의 로랑급수== | |
| − | * 원점에서의 로랑급수는 다음과 같이 주어짐.<br><math>\wp(z)=z^{-2}+\frac{g_2}{20}z^2+\frac{g_3}{28}z^4+\frac{g_2^2}{1200}z^6+O(z^8)</math><br> | + | * 원점에서의 로랑급수는 다음과 같이 주어짐.<br><math>\wp(z)=z^{-2}+\frac{g_2}{20}z^2+\frac{g_3}{28}z^4+\frac{g_2^2}{1200}z^6+O(z^8)</math><br> 여기서 <math>g_2= 60\sum{}' \omega_{m,n}^{-4}</math>, <math>g_3=140\sum{}' \omega_{m,n}^{-6}</math><br> |
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(증명) | (증명) | ||
| − | <math>\zeta(z)=\frac{1}{z}+\sum_{\omega \in \Omega}\frac{z^2}{\omega^2(z-\omega)}=\frac{1}{z}+\sum_{\omega \in \Omega}(\frac{1}{z-\omega}+\frac{1}{\omega}+\frac{z}{\omega}^2) </math> | + | <math>\zeta(z)=\frac{1}{z}+\sum_{\omega \in \Omega}\frac{z^2}{\omega^2(z-\omega)}=\frac{1}{z}+\sum_{\omega \in \Omega}(\frac{1}{z-\omega}+\frac{1}{\omega}+\frac{z}{\omega}^2) </math> 를 정의하자. |
| − | <math>\wp(z)=-\zeta'(z)=\sum_{\omega\in \Omega} \frac{1}{(z-m)^2}- \frac{1}{\omega^2} \right\}</math> | + | <math>\wp(z)=-\zeta'(z)=\sum_{\omega\in \Omega} \frac{1}{(z-m)^2}- \frac{1}{\omega^2} \right\}</math> 이므로 <math>\zeta(z)=\frac{1}{z}+\sum_{\Omega}(\frac{1}{z-\omega}+\frac{1}{\omega}+\frac{z}{\omega}^2)</math> 의 로랑급수를 구한 뒤, 미분을 하면 된다. |
<math>\zeta(z)=\frac{1}{z}+\sum_{\omega \in \Omega}\frac{z^2}{\omega^2(z-\omega)}=\frac{1}{z}+\sum_{\omega \in \Omega}\frac{z^2}{\omega^2}(-\frac{1}{\omega}-\frac{z}{\omega^2}-\frac{z^2}{\omega^3}-\cdots)</math> | <math>\zeta(z)=\frac{1}{z}+\sum_{\omega \in \Omega}\frac{z^2}{\omega^2(z-\omega)}=\frac{1}{z}+\sum_{\omega \in \Omega}\frac{z^2}{\omega^2}(-\frac{1}{\omega}-\frac{z}{\omega^2}-\frac{z^2}{\omega^3}-\cdots)</math> | ||
| − | <math>=\frac{1}{z}+\sum_{\omega \in \Omega}(-\frac{z^2}{\omega^3}-\frac{z^3}{\omega^4}-\frac{z^4}{\omega^5}-\cdots)=\frac{1}{z}-G_3z^2-G_4z^3-\cdots=\frac{1}{z}-\sum_{n=2}^{\infty}G_{2n}z^{2n-1}</math>. | + | <math>=\frac{1}{z}+\sum_{\omega \in \Omega}(-\frac{z^2}{\omega^3}-\frac{z^3}{\omega^4}-\frac{z^4}{\omega^5}-\cdots)=\frac{1}{z}-G_3z^2-G_4z^3-\cdots=\frac{1}{z}-\sum_{n=2}^{\infty}G_{2n}z^{2n-1}</math>. 여기서 <math>G_{2n}=\sum_{\omega\in \Omega} \frac{1}{\omega^{2n}}</math>. |
| − | + | 따라서 <math>\wp(z)=\frac{1}{z^2}-\sum_{n=2}^{\infty}(2n-1)G_{2n}z^{2n-2}</math>. | |
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| − | * 바이어슈트라스 | + | * 바이어슈트라스 타원함수는 다음 미분방정식을 만족시킴<br><math>\wp'(z)^2=4\wp(z)^3-g_2\wp(z)-g_3</math><br> |
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* <math>e_1:=\wp(\frac{\omega_1}{2};\omega_1,\omega_2)</math><br><math>e_2:=\wp(\frac{\omega_2}{2};\omega_1,\omega_2)</math><br><math>e_3:=\wp(\frac{\omega_1+\omega_2}{2};\omega_1,\omega_2)</math><br> | * <math>e_1:=\wp(\frac{\omega_1}{2};\omega_1,\omega_2)</math><br><math>e_2:=\wp(\frac{\omega_2}{2};\omega_1,\omega_2)</math><br><math>e_3:=\wp(\frac{\omega_1+\omega_2}{2};\omega_1,\omega_2)</math><br> | ||
* 다음 타원곡선의 branch points로 이해할 수 있음<br><math>y^2=4x^3-g_2x-g_3=4(x-e_1)(x-e_2)(x-e_3)</math><br> | * 다음 타원곡선의 branch points로 이해할 수 있음<br><math>y^2=4x^3-g_2x-g_3=4(x-e_1)(x-e_2)(x-e_3)</math><br> | ||
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<math>\wp(z+w)=-\wp(z)-\wp(w)+\frac{1}{4}(\frac{\wp'(z)-\wp'(w)}{\wp(z)-\wp(w)})^2</math> | <math>\wp(z+w)=-\wp(z)-\wp(w)+\frac{1}{4}(\frac{\wp'(z)-\wp'(w)}{\wp(z)-\wp(w)})^2</math> | ||
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* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q= | * http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q= | ||
* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]] | * [[수학사연표 (역사)|수학사연표]] | ||
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| − | + | ==메모== | |
* [http://www.maths.gla.ac.uk/%7Emengland/Conferences/Burnhandout.pdf http://www.maths.gla.ac.uk/~mengland/Conferences/Burnhandout.pdf]<br> | * [http://www.maths.gla.ac.uk/%7Emengland/Conferences/Burnhandout.pdf http://www.maths.gla.ac.uk/~mengland/Conferences/Burnhandout.pdf]<br> | ||
| − | * The zeros of theWeierstrass }–function | + | * The zeros of theWeierstrass }–function and hypergeometric series W. Duke and O¨ . Imamog¯lu [http://www.math.ucla.edu/%7Ewdduke/preprints/zeros.pdf http://www.math.ucla.edu/~wdduke/preprints/zeros.pdf]<br> |
* TeX symbol \wp, Unicode U+2118<br> | * TeX symbol \wp, Unicode U+2118<br> | ||
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| − | + | ==수학용어번역== | |
| − | * | + | * 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q= |
| − | * | + | * 발음사전 http://www.forvo.com/search/ |
* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br> | * [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br> | ||
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr= | ** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr= | ||
* [http://www.nktech.net/science/term/term_l.jsp?l_mode=cate&s_code_cd=MA 남·북한수학용어비교] | * [http://www.nktech.net/science/term/term_l.jsp?l_mode=cate&s_code_cd=MA 남·북한수학용어비교] | ||
| − | * [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 | + | * [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판] |
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/ | * http://ko.wikipedia.org/wiki/ | ||
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* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br> | * [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br> | ||
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2012년 10월 27일 (토) 12:33 판
개요
정의
- 2차원격자를 이루는 두 복소수 \(\omega_1,\omega_2\)에 대하여,
\(\wp(z;\omega_1,\omega_2)=\frac{1}{z^2}+ \sum_{m^2+n^2 \ne 0} \left\{ \frac{1}{(z-m\omega_1-n\omega_2)^2}- \frac{1}{\left(m\omega_1+n\omega_2\right)^2} \right\}\)
\(\wp(z;\omega_1,\omega_2)=\frac{1}{z^2}+ \sum_{m^2+n^2 \ne 0} \left\{ \frac{1}{(z-m\omega_1-n\omega_2)^2}- \frac{1}{\left(m\omega_1+n\omega_2\right)^2} \right\}\) - 이중주기를 갖는 함수
\(\wp(z+\omega_1)=\wp(z+\omega_2)=\wp(z)\)
℘의 로랑급수
- 원점에서의 로랑급수는 다음과 같이 주어짐.
\(\wp(z)=z^{-2}+\frac{g_2}{20}z^2+\frac{g_3}{28}z^4+\frac{g_2^2}{1200}z^6+O(z^8)\)
여기서 \(g_2= 60\sum{}' \omega_{m,n}^{-4}\), \(g_3=140\sum{}' \omega_{m,n}^{-6}\)
(증명)
\(\zeta(z)=\frac{1}{z}+\sum_{\omega \in \Omega}\frac{z^2}{\omega^2(z-\omega)}=\frac{1}{z}+\sum_{\omega \in \Omega}(\frac{1}{z-\omega}+\frac{1}{\omega}+\frac{z}{\omega}^2) \) 를 정의하자.
\(\wp(z)=-\zeta'(z)=\sum_{\omega\in \Omega} \frac{1}{(z-m)^2}- \frac{1}{\omega^2} \right\}\) 이므로 \(\zeta(z)=\frac{1}{z}+\sum_{\Omega}(\frac{1}{z-\omega}+\frac{1}{\omega}+\frac{z}{\omega}^2)\) 의 로랑급수를 구한 뒤, 미분을 하면 된다.
\(\zeta(z)=\frac{1}{z}+\sum_{\omega \in \Omega}\frac{z^2}{\omega^2(z-\omega)}=\frac{1}{z}+\sum_{\omega \in \Omega}\frac{z^2}{\omega^2}(-\frac{1}{\omega}-\frac{z}{\omega^2}-\frac{z^2}{\omega^3}-\cdots)\)
\(=\frac{1}{z}+\sum_{\omega \in \Omega}(-\frac{z^2}{\omega^3}-\frac{z^3}{\omega^4}-\frac{z^4}{\omega^5}-\cdots)=\frac{1}{z}-G_3z^2-G_4z^3-\cdots=\frac{1}{z}-\sum_{n=2}^{\infty}G_{2n}z^{2n-1}\). 여기서 \(G_{2n}=\sum_{\omega\in \Omega} \frac{1}{\omega^{2n}}\).
따라서 \(\wp(z)=\frac{1}{z^2}-\sum_{n=2}^{\infty}(2n-1)G_{2n}z^{2n-2}\).
- \(G_{2n}\)에 대해서는 모듈라 형식(modular forms)의 아이젠슈타인 급수 참조.
미분방정식
- 바이어슈트라스 타원함수는 다음 미분방정식을 만족시킴
\(\wp'(z)^2=4\wp(z)^3-g_2\wp(z)-g_3\)
도함수의 해
- \(\wp(z)\)는 우함수, \(\wp'(z)\)는 기함수임을 이용하면, \(\wp'(\frac{\omega}{2})=0\) 임을 증명할 수 있다
- \(e_1:=\wp(\frac{\omega_1}{2};\omega_1,\omega_2)\)
\(e_2:=\wp(\frac{\omega_2}{2};\omega_1,\omega_2)\)
\(e_3:=\wp(\frac{\omega_1+\omega_2}{2};\omega_1,\omega_2)\) - 다음 타원곡선의 branch points로 이해할 수 있음
\(y^2=4x^3-g_2x-g_3=4(x-e_1)(x-e_2)(x-e_3)\)
덧셈공식
\(\wp(z+w)=-\wp(z)-\wp(w)+\frac{1}{4}(\frac{\wp'(z)-\wp'(w)}{\wp(z)-\wp(w)})^2\)
역사
메모
- http://www.maths.gla.ac.uk/~mengland/Conferences/Burnhandout.pdf
- The zeros of theWeierstrass }–function and hypergeometric series W. Duke and O¨ . Imamog¯lu http://www.math.ucla.edu/~wdduke/preprints/zeros.pdf
- TeX symbol \wp, Unicode U+2118
관련된 항목들
수학용어번역
- 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
- 발음사전 http://www.forvo.com/search/
- 대한수학회 수학 학술 용어집
- 남·북한수학용어비교
- 대한수학회 수학용어한글화 게시판