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==정의==
 
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*  2차원격자를 이루는 두 복소수 <math>\omega_1,\omega_2</math>에 대하여, <br><math>\wp(z;\omega_1,\omega_2)=\frac{1}{z^2}+ \sum_{m^2+n^2 \ne 0} \left\{ \frac{1}{(z-m\omega_1-n\omega_2)^2}- \frac{1}{\left(m\omega_1+n\omega_2\right)^2} \right\}</math><br><math>\wp(z;\omega_1,\omega_2)=\frac{1}{z^2}+ \sum_{m^2+n^2 \ne 0} \left\{ \frac{1}{(z-m\omega_1-n\omega_2)^2}- \frac{1}{\left(m\omega_1+n\omega_2\right)^2} \right\}</math><br>
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*  2차원격자를 이루는 두 복소수 <math>\omega_1,\omega_2</math>에 대하여, :<math>\wp(z;\omega_1,\omega_2)=\frac{1}{z^2}+ \sum_{m^2+n^2 \ne 0} \left\{ \frac{1}{(z-m\omega_1-n\omega_2)^2}- \frac{1}{\left(m\omega_1+n\omega_2\right)^2} \right\}</math>:<math>\wp(z;\omega_1,\omega_2)=\frac{1}{z^2}+ \sum_{m^2+n^2 \ne 0} \left\{ \frac{1}{(z-m\omega_1-n\omega_2)^2}- \frac{1}{\left(m\omega_1+n\omega_2\right)^2} \right\}</math><br>
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*  이중주기를 갖는 함수<br><math>\wp(z+\omega_1)=\wp(z+\omega_2)=\wp(z)</math><br>
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*  이중주기를 갖는 함수:<math>\wp(z+\omega_1)=\wp(z+\omega_2)=\wp(z)</math><br>
  
 
   
 
   
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==℘의 로랑급수==
 
==℘의 로랑급수==
  
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*  원점에서의 로랑급수는 다음과 같이 주어짐.<br><math>\wp(z)=z^{-2}+\frac{g_2}{20}z^2+\frac{g_3}{28}z^4+\frac{g_2^2}{1200}z^6+O(z^8)</math><br> 여기서 <math>g_2= 60\sum{}' \omega_{m,n}^{-4}</math>, <math>g_3=140\sum{}' \omega_{m,n}^{-6}</math><br>
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*  원점에서의 로랑급수는 다음과 같이 주어짐.:<math>\wp(z)=z^{-2}+\frac{g_2}{20}z^2+\frac{g_3}{28}z^4+\frac{g_2^2}{1200}z^6+O(z^8)</math><br> 여기서 <math>g_2= 60\sum{}' \omega_{m,n}^{-4}</math>, <math>g_3=140\sum{}' \omega_{m,n}^{-6}</math><br>
  
 
   
 
   
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==미분방정식==
 
==미분방정식==
  
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*  바이어슈트라스 타원함수는 다음 미분방정식을 만족시킴<br><math>\wp'(z)^2=4\wp(z)^3-g_2\wp(z)-g_3</math><br>
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*  바이어슈트라스 타원함수는 다음 미분방정식을 만족시킴:<math>\wp'(z)^2=4\wp(z)^3-g_2\wp(z)-g_3</math><br>
  
 
   
 
   
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* <math>\wp(z)</math>는 우함수, <math>\wp'(z)</math>는 기함수임을 이용하면, <math>\wp'(\frac{\omega}{2})=0</math> 임을 증명할 수 있다<br>
 
* <math>\wp(z)</math>는 우함수, <math>\wp'(z)</math>는 기함수임을 이용하면, <math>\wp'(\frac{\omega}{2})=0</math> 임을 증명할 수 있다<br>
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* <math>e_1:=\wp(\frac{\omega_1}{2};\omega_1,\omega_2)</math><br><math>e_2:=\wp(\frac{\omega_2}{2};\omega_1,\omega_2)</math><br><math>e_3:=\wp(\frac{\omega_1+\omega_2}{2};\omega_1,\omega_2)</math><br>
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* <math>e_1:=\wp(\frac{\omega_1}{2};\omega_1,\omega_2)</math>:<math>e_2:=\wp(\frac{\omega_2}{2};\omega_1,\omega_2)</math>:<math>e_3:=\wp(\frac{\omega_1+\omega_2}{2};\omega_1,\omega_2)</math><br>
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*  다음 타원곡선의 branch points로 이해할 수 있음<br><math>y^2=4x^3-g_2x-g_3=4(x-e_1)(x-e_2)(x-e_3)</math><br>
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*  다음 타원곡선의 branch points로 이해할 수 있음:<math>y^2=4x^3-g_2x-g_3=4(x-e_1)(x-e_2)(x-e_3)</math><br>
  
 
   
 
   

2013년 1월 12일 (토) 09:42 판

개요

정의

  • 2차원격자를 이루는 두 복소수 \(\omega_1,\omega_2\)에 대하여, \[\wp(z;\omega_1,\omega_2)=\frac{1}{z^2}+ \sum_{m^2+n^2 \ne 0} \left\{ \frac{1}{(z-m\omega_1-n\omega_2)^2}- \frac{1}{\left(m\omega_1+n\omega_2\right)^2} \right\}\]\[\wp(z;\omega_1,\omega_2)=\frac{1}{z^2}+ \sum_{m^2+n^2 \ne 0} \left\{ \frac{1}{(z-m\omega_1-n\omega_2)^2}- \frac{1}{\left(m\omega_1+n\omega_2\right)^2} \right\}\]
  • 이중주기를 갖는 함수\[\wp(z+\omega_1)=\wp(z+\omega_2)=\wp(z)\]




℘의 로랑급수

  • 원점에서의 로랑급수는 다음과 같이 주어짐.\[\wp(z)=z^{-2}+\frac{g_2}{20}z^2+\frac{g_3}{28}z^4+\frac{g_2^2}{1200}z^6+O(z^8)\]
    여기서 \(g_2= 60\sum{}' \omega_{m,n}^{-4}\), \(g_3=140\sum{}' \omega_{m,n}^{-6}\)


(증명)

\(\zeta(z)=\frac{1}{z}+\sum_{\omega \in \Omega}\frac{z^2}{\omega^2(z-\omega)}=\frac{1}{z}+\sum_{\omega \in \Omega}(\frac{1}{z-\omega}+\frac{1}{\omega}+\frac{z}{\omega}^2) \) 를 정의하자.

\(\wp(z)=-\zeta'(z)=\sum_{\omega\in \Omega} \frac{1}{(z-m)^2}- \frac{1}{\omega^2}\) 이므로 \(\zeta(z)=\frac{1}{z}+\sum_{\Omega}(\frac{1}{z-\omega}+\frac{1}{\omega}+\frac{z}{\omega}^2)\) 의 로랑급수를 구한 뒤, 미분을 하면 된다.

\(\zeta(z)=\frac{1}{z}+\sum_{\omega \in \Omega}\frac{z^2}{\omega^2(z-\omega)}=\frac{1}{z}+\sum_{\omega \in \Omega}\frac{z^2}{\omega^2}(-\frac{1}{\omega}-\frac{z}{\omega^2}-\frac{z^2}{\omega^3}-\cdots)\)

\(=\frac{1}{z}+\sum_{\omega \in \Omega}(-\frac{z^2}{\omega^3}-\frac{z^3}{\omega^4}-\frac{z^4}{\omega^5}-\cdots)=\frac{1}{z}-G_3z^2-G_4z^3-\cdots=\frac{1}{z}-\sum_{n=2}^{\infty}G_{2n}z^{2n-1}\). 여기서 \(G_{2n}=\sum_{\omega\in \Omega} \frac{1}{\omega^{2n}}\).

따라서 \(\wp(z)=\frac{1}{z^2}-\sum_{n=2}^{\infty}(2n-1)G_{2n}z^{2n-2}\).


미분방정식

  • 바이어슈트라스 타원함수는 다음 미분방정식을 만족시킴\[\wp'(z)^2=4\wp(z)^3-g_2\wp(z)-g_3\]



도함수의 해

  • \(\wp(z)\)는 우함수, \(\wp'(z)\)는 기함수임을 이용하면, \(\wp'(\frac{\omega}{2})=0\) 임을 증명할 수 있다
  • \(e_1:=\wp(\frac{\omega_1}{2};\omega_1,\omega_2)\)\[e_2:=\wp(\frac{\omega_2}{2};\omega_1,\omega_2)\]\[e_3:=\wp(\frac{\omega_1+\omega_2}{2};\omega_1,\omega_2)\]
  • 다음 타원곡선의 branch points로 이해할 수 있음\[y^2=4x^3-g_2x-g_3=4(x-e_1)(x-e_2)(x-e_3)\]



덧셈공식

\(\wp(z+w)=-\wp(z)-\wp(w)+\frac{1}{4}(\frac{\wp'(z)-\wp'(w)}{\wp(z)-\wp(w)})^2\)



역사



메모




관련된 항목들

수학용어번역



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