"분할수의 생성함수(오일러 함수)"의 두 판 사이의 차이

2010년 1월 14일 (목) 19:27 판

분할수의 생섬함수를 오일러함수라고도 한다
분할수의 생성함수는 다음과 같이 무한곱으로 표현가능하다
\(\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n= 1+q+2 q^2+3 q^3+5 q^4+7 q^5+11 q^6+15 q^7+22 q^8+30 q^9+42 q^{10}+\cdots\)

\(\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n = \prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} \right = \prod_{n=1}^\infty (1-q^n)^{-1} \)

오일러의 오각수정리(pentagonal number theorem)
\(\prod_{n=1}^\infty (1-q^n)=\sum_{k=-\infty}^\infty(-1)^kq^{k(3k-1)/2}\)
\((1-q)(1-q^2)(1-q^3) \cdots = 1 - q - q^2 + q^5 + q^7 - q^{12} - q^{15} + q^{22} + q^{26} + \cdots\)

위의 급수는 오일러함수의 역이다
\(\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n = \prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} \right = \prod_{n=1}^\infty (1-q^n)^{-1} \)

q-초기하급수(q-hypergeometric series)
\(\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n = \prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} \right = \prod_{n=1}^\infty (1-q^n)^{-1} =1+\sum_{n=1}\frac{q^n}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}\)
\(\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n = \sum_{n\geq 0}\frac{q^{n^2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}\)

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 *  위의 급수는 오일러함수의 역이다<br><math>\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n = \prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} \right = \prod_{n=1}^\infty (1-q^n)^{-1} </math><br>
+<h5 style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px;">q-초기하급수 형태로의 표현</h5>
+* [[q-초기하급수(q-hypergeometric series) (통합됨)|q-초기하급수(q-hypergeometric series)]]<br><math>\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n = \prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} \right = \prod_{n=1}^\infty (1-q^n)^{-1} =1+\sum_{n=1}\frac{q^n}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}</math><br><math>\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n = \sum_{n\geq 0}\frac{q^{n^2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}</math><br>