"분할의 rank와 crank"의 두 판 사이의 차이

2010년 7월 27일 (화) 04:02 판

라마누잔(1887- 1920)의 분할수에 대한 발견
\(p(5k+4)\equiv 0 \pmod 5\)
\(p(7k+5)\equiv 0 \pmod 7\)
\(p(11k+6)\equiv 0 \pmod {11}\)
이를 자연스럽게 설명하기 위한 틀로 분할의 rank와 crank의 개념이 도입
프리먼 다이슨과 그 후속 연구로 발전

분할의 rank = 분할에서 가장 큰 수 - 분할의 크기
예
- 9의 분할인 {7,1,1}의 경우, rank=7-3=4
- 9의 분할인 {4,3,1,1}의 경우, rank=4-4=0
분할의 crank
- 분할에서 가장 큰 수 (1이 포함되지 않는 분할의 경우)
- 분할에서 "1의개수"보다 큰 수 - 1의 개수 (1이 포함되는 경우)
예
- 9의 분할인 {7,1,1}의 경우, crank=1-2=-1
- 9의 분할인 {4,3,1,1}의 경우, crank=2-2=0
9의 분할수 = 30
- 분할
  {{9}, {8, 1}, {7, 2}, {7, 1, 1}, {6, 3}, {6, 2, 1}, {6, 1, 1, 1}, {5, 4}, {5, 3, 1}, {5, 2, 2}, {5, 2, 1, 1}, {5, 1, 1, 1, 1}, {4, 4, 1}, {4, 3, 2}, {4, 3, 1, 1}, {4, 2, 2, 1}, {4, 2, 1, 1, 1}, {4, 1, 1, 1, 1, 1}, {3, 3, 3}, {3, 3, 2, 1}, {3, 3, 1, 1, 1}, {3, 2, 2, 2}, {3, 2, 2, 1, 1}, {3, 2, 1, 1, 1, 1}, {3, 1, 1, 1, 1, 1, 1}, {2, 2, 2, 2, 1}, {2, 2, 2, 1, 1, 1}, {2, 2, 1, 1, 1, 1, 1}, {2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}, {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}}
- rank
  {8,6,5,4,4,3,2,3,2,2,1,0,1,1,0,0,-1,-2,0,-1,-2,-1,-2,-3,-4,-3,-4,-5,-6,-8}
  이 집합을 mod 5로 고려하면, 각원소가 6개씩있다
- crank
  {9,0,7,-1,6,1,-2,5,1,5,-1,-3,1,4,0,2,-2,-5,3,2,-3,3,-1,-4,-6,3,-3,-5,-7,-9}
  이 집합을 mod 5로 고려하면, 각원소가 6개씩있다
자연수의 분할(partition)과 rank 목록

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 <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">개요[[자연수의 분할(partition)과 rank/crank 목록|]]</h5>
-* [[라마누잔(1887- 1920)]]의 분할수에 대한 발견<br><math>p(5k+4)\equiv 0 \pmod 5</math><br><math>p(7k+5)\equiv 0 \pmod 7</math><br><math>p(11k+6)\equiv 0 \pmod {11}</math><br>
+* [[라마누잔(1887- 1920)]]의 [[자연수의 분할수(integer partitions)|분할수]]에 대한 발견<br><math>p(5k+4)\equiv 0 \pmod 5</math><br><math>p(7k+5)\equiv 0 \pmod 7</math><br><math>p(11k+6)\equiv 0 \pmod {11}</math><br>
-* 이를 자연스럽게 설명하기 위한 개념적 틀
+* 이를 자연스럽게 설명하기 위한 틀로 분할의 rank와 crank의 개념이 도입
 * 프리먼 다이슨과 그 후속 연구로 발전
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 * <br>
 ** Andrews, G.E. and Garvan, F.G., Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.). v18. 167-171
+* Dyson, F.: Some guesses in the theory of partitions. Eureka (Cambridge) 8, 10–15 (1944
 * http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
 * http://www.ams.org/mathscinet