"블로흐-비그너 다이로그(Bloch-Wigner dilogarithm)"의 두 판 사이의 차이
둘러보기로 가기
검색하러 가기
Pythagoras0 (토론 | 기여) |
|||
| 1번째 줄: | 1번째 줄: | ||
| − | + | ==개요== | |
| − | + | * [[다이로그 함수(dilogarithm)]]<br><math>\operatorname{Li}_ 2(z) = -\int_0^z{{\ln (1-t)}\over t} dt </math> for <math>z\in \mathbb C-[1,\infty)</math><br> | |
| − | + | * 다이로그 함수의 변종으로 블로흐-비그너 다이로그(Bloch-Wigner dilogarithm)를 다음과 같이 정의함<br><math>D(z)=\text{Im}(\operatorname{Li}_ 2(z))+\log|z|\arg(1-z)</math> , <math>z\in\mathbb{C}</math><br> | |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | * [[다이로그 함수(dilogarithm)]]<br><math>\operatorname{Li} | ||
| − | * 다이로그 함수의 변종으로 블로흐-비그너 다이로그(Bloch-Wigner dilogarithm)를 다음과 같이 정의함<br><math>D(z)=\text{Im}(\operatorname{Li} | ||
* 복소평면에서 정의된 실수값을 갖는 연속함수<br> | * 복소평면에서 정의된 실수값을 갖는 연속함수<br> | ||
* 복소평면의 0과 1을 제외한 모든 점에서 real analytic<br> | * 복소평면의 0과 1을 제외한 모든 점에서 real analytic<br> | ||
| − | * 대수적 K-이론에서 수체의 | + | * 대수적 K-이론에서 수체의 K_ 3 군을 실벡터 공간으로 보내는 regulator map을 구성하는데 활용됨<br> |
* 다이로그 함수의 허수부에 대해서는 [[로바체프스키 함수|로바체프스키와 클라우센 함수]] 항목 참조 | * 다이로그 함수의 허수부에 대해서는 [[로바체프스키 함수|로바체프스키와 클라우센 함수]] 항목 참조 | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ==그래프와 등고선== | |
| + | * 복소평면에서 정의된 실수값을 갖는 연속함수 | ||
| + | [[파일:블로흐-비그너 다이로그(Bloch-Wigner dilogarithm)1.gif]] | ||
| + | * 다음과 같은 등고선을 얻는다 | ||
| + | [[파일:블로흐-비그너 다이로그(Bloch-Wigner dilogarithm)2.gif]] | ||
| − | + | ||
| − | |||
| − | + | ==항등식== | |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
<math>D(z)=D(1-\frac{1}{z})=D(\frac{1}{1-z})=-D(\frac{1}{z})=-D(1-z)=-D(\frac{z}{z-1})</math> | <math>D(z)=D(1-\frac{1}{z})=D(\frac{1}{1-z})=-D(\frac{1}{z})=-D(1-z)=-D(\frac{z}{z-1})</math> | ||
| − | * [[다이로그 함수(dilogarithm)|Dilogarithm 함수]]가 만족시키는 | + | * [[다이로그 함수(dilogarithm)|Dilogarithm 함수]]가 만족시키는 공식을 깔끔하게 함<br><math>\mbox{Li}_ 2(x)</math>,<math>\mbox{Li}_ 2 \left(\frac{1}{1-x}\right)</math>, <math>\mbox{Li}_ 2 \left(1- \frac{1}{x} \right)</math>, <math>-\mbox{Li}_ 2 \left( \frac{1}{x} \right)</math>,<math>-\mbox{Li}_ 2 \left(1-x \right)</math> , <math>-\mbox{Li}_ 2 \left( \frac{x}{x-1} \right)</math><br> |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ==five-term relation== | |
<math>D(x)+D(y)+D\left( \frac{1-x}{1-xy} \right)+D(1-xy)+D\left( \frac{1-y}{1-xy} \right)=0</math> | <math>D(x)+D(y)+D\left( \frac{1-x}{1-xy} \right)+D(1-xy)+D\left( \frac{1-y}{1-xy} \right)=0</math> | ||
| 49번째 줄: | 36번째 줄: | ||
* [[다이로그 함수(dilogarithm)|Dilogarithm 함수]]의 경우 | * [[다이로그 함수(dilogarithm)|Dilogarithm 함수]]의 경우 | ||
| − | <math>\mbox{Li} | + | <math>\mbox{Li}_ 2(x)+\mbox{Li}_ 2(y)+\mbox{Li}_ 2 \left( \frac{1-x}{1-xy} \right)+\mbox{Li}_ 2(1-xy)+\mbox{Li}_ 2 \left( \frac{1-y}{1-xy} \right)=\frac{\pi^2}{2}-\log(x)\log(1-x)-\log(y)\log(1-y)+\log (\frac{1-x}{1-xy})\log (\frac{1-y}{1-xy})</math> |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ==클라우센 함수와의 관계== | |
| − | * <math>z=e^{i\theta}</math> 일 때, <math>D(z)=\text{Im}(\operatorname{Li} | + | * <math>z=e^{i\theta}</math> 일 때, <math>D(z)=\text{Im}(\operatorname{Li}_ 2(z))+\log|z|\arg(1-z)</math> 의 값은 [[클라우센 함수(Clausen function)]] 로 표현<br><math>\operatorname{Cl}_ 2(\theta)=-\int_0^{\theta} \ln |2\sin \frac{t}{2}| \,dt=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin (n\theta)}{n^2}</math><br> |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ==데데킨트 제타함수와의 관계== | |
| − | * [[데데킨트 제타함수]]<math>s=2</math> | + | * [[데데킨트 제타함수]]<math>s=2</math> 에서의 값을 표현하는데 나타남<br> |
| − | * [[복소이차수체의 데데킨트 제테함수]] 의 경우<br>[[데데킨트 제타함수|]]<br><math>\zeta_{K}(2)=\frac{\pi^2}{6\sqrt{|d_K|}}\sum_{(a,d_k)=1} (\frac{d_K}{a})D(e^{2\pi ia/|d_k|})</math><br><math>\zeta_{\mathbb{Q}\sqrt{-7}}(2)=\frac{\pi^2}{3\sqrt{7}}(D(e^{2\pi i/7})+D(e^{4\pi i/7})-D(e^{6\pi i/7}))</math><br> | + | * [[복소이차수체의 데데킨트 제테함수]] 의 경우<br>[[데데킨트 제타함수|데데킨트 제타함수]]<br><math>\zeta_{K}(2)=\frac{\pi^2}{6\sqrt{|d_K|}}\sum_{(a,d_k)=1} (\frac{d_K}{a})D(e^{2\pi ia/|d_k|})</math><br><math>\zeta_{\mathbb{Q}\sqrt{-7}}(2)=\frac{\pi^2}{3\sqrt{7}}(D(e^{2\pi i/7})+D(e^{4\pi i/7})-D(e^{6\pi i/7}))</math><br> |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ==역사== | |
* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]] | * [[수학사연표 (역사)|수학사연표]] | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ==메모== | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ==관련된 항목들== | |
* [[로바체프스키 함수|로바체프스키와 클라우센 함수]]<br> | * [[로바체프스키 함수|로바체프스키와 클라우센 함수]]<br> | ||
| 94번째 줄: | 81번째 줄: | ||
* [[데데킨트 제타함수]]<br> | * [[데데킨트 제타함수]]<br> | ||
| − | + | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | + | ||
| − | + | ==매스매티카 파일 및 계산 리소스== | |
* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxS0U2bjRwSGtqV2M/edit | * https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxS0U2bjRwSGtqV2M/edit | ||
| 126번째 줄: | 96번째 줄: | ||
* [https://docs.google.com/open?id=0B8XXo8Tve1cxMWI0NzNjYWUtNmIwZi00YzhkLTkzNzQtMDMwYmVmYmIxNmIw 매스매티카 파일 목록] | * [https://docs.google.com/open?id=0B8XXo8Tve1cxMWI0NzNjYWUtNmIwZi00YzhkLTkzNzQtMDMwYmVmYmIxNmIw 매스매티카 파일 목록] | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ==사전 형태의 자료== | |
* http://ko.wikipedia.org/wiki/ | * http://ko.wikipedia.org/wiki/ | ||
| 139번째 줄: | 109번째 줄: | ||
** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q= | ** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q= | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ==관련논문== | |
| − | * The Bloch-Wigner-Ramakrishnan polylogarithm function, Don Zagier, | + | * The Bloch-Wigner-Ramakrishnan polylogarithm function, Don Zagier, Math-Annalen, pages 612\[Dash]624, 1990. http://dx.doi.org/10.1007/BF01453591 |
* Polylogarithms, Dedekind Zeta functions, and the algebraic K-theory of fields | * Polylogarithms, Dedekind Zeta functions, and the algebraic K-theory of fields | ||
| 151번째 줄: | 121번째 줄: | ||
* http://dx.doi.org/10.1007/BF01453591 | * http://dx.doi.org/10.1007/BF01453591 | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ==관련도서== | |
| − | * Spencer Bloch, Higher Regulators, Algebraic K-Theory, and Zeta Functions of Elliptic Curves http://books.google.com/books/about/ | + | * Spencer Bloch, Higher Regulators, Algebraic K-Theory, and Zeta Functions of Elliptic Curves http://books.google.com/books/about/Higher_Regulators_Algebraic _K _Theory _and.html?id=D7BDMNbxM1IC<br> |
* Serge Lang, Complex Analysis, Chapter XI. Section 2<br> | * Serge Lang, Complex Analysis, Chapter XI. Section 2<br> | ||
2012년 10월 18일 (목) 13:43 판
개요
- 다이로그 함수(dilogarithm)
\(\operatorname{Li}_ 2(z) = -\int_0^z{{\ln (1-t)}\over t} dt \) for \(z\in \mathbb C-[1,\infty)\) - 다이로그 함수의 변종으로 블로흐-비그너 다이로그(Bloch-Wigner dilogarithm)를 다음과 같이 정의함
\(D(z)=\text{Im}(\operatorname{Li}_ 2(z))+\log|z|\arg(1-z)\) , \(z\in\mathbb{C}\) - 복소평면에서 정의된 실수값을 갖는 연속함수
- 복소평면의 0과 1을 제외한 모든 점에서 real analytic
- 대수적 K-이론에서 수체의 K_ 3 군을 실벡터 공간으로 보내는 regulator map을 구성하는데 활용됨
- 다이로그 함수의 허수부에 대해서는 로바체프스키와 클라우센 함수 항목 참조
그래프와 등고선
- 복소평면에서 정의된 실수값을 갖는 연속함수
1.gif)
- 다음과 같은 등고선을 얻는다
2.gif)
항등식
\(D(z)=D(1-\frac{1}{z})=D(\frac{1}{1-z})=-D(\frac{1}{z})=-D(1-z)=-D(\frac{z}{z-1})\)
- Dilogarithm 함수가 만족시키는 공식을 깔끔하게 함
\(\mbox{Li}_ 2(x)\),\(\mbox{Li}_ 2 \left(\frac{1}{1-x}\right)\), \(\mbox{Li}_ 2 \left(1- \frac{1}{x} \right)\), \(-\mbox{Li}_ 2 \left( \frac{1}{x} \right)\),\(-\mbox{Li}_ 2 \left(1-x \right)\) , \(-\mbox{Li}_ 2 \left( \frac{x}{x-1} \right)\)
five-term relation
\(D(x)+D(y)+D\left( \frac{1-x}{1-xy} \right)+D(1-xy)+D\left( \frac{1-y}{1-xy} \right)=0\)
- Dilogarithm 함수의 경우
\(\mbox{Li}_ 2(x)+\mbox{Li}_ 2(y)+\mbox{Li}_ 2 \left( \frac{1-x}{1-xy} \right)+\mbox{Li}_ 2(1-xy)+\mbox{Li}_ 2 \left( \frac{1-y}{1-xy} \right)=\frac{\pi^2}{2}-\log(x)\log(1-x)-\log(y)\log(1-y)+\log (\frac{1-x}{1-xy})\log (\frac{1-y}{1-xy})\)
클라우센 함수와의 관계
- \(z=e^{i\theta}\) 일 때, \(D(z)=\text{Im}(\operatorname{Li}_ 2(z))+\log|z|\arg(1-z)\) 의 값은 클라우센 함수(Clausen function) 로 표현
\(\operatorname{Cl}_ 2(\theta)=-\int_0^{\theta} \ln |2\sin \frac{t}{2}| \,dt=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin (n\theta)}{n^2}\)
데데킨트 제타함수와의 관계
- 데데킨트 제타함수\(s=2\) 에서의 값을 표현하는데 나타남
- 복소이차수체의 데데킨트 제테함수 의 경우
데데킨트 제타함수
\(\zeta_{K}(2)=\frac{\pi^2}{6\sqrt{|d_K|}}\sum_{(a,d_k)=1} (\frac{d_K}{a})D(e^{2\pi ia/|d_k|})\)
\(\zeta_{\mathbb{Q}\sqrt{-7}}(2)=\frac{\pi^2}{3\sqrt{7}}(D(e^{2\pi i/7})+D(e^{4\pi i/7})-D(e^{6\pi i/7}))\)
역사
메모
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
- https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxS0U2bjRwSGtqV2M/edit
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- http://functions.wolfram.com/
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- Numbers, constants and computation
- 매스매티카 파일 목록
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
관련논문
- The Bloch-Wigner-Ramakrishnan polylogarithm function, Don Zagier, Math-Annalen, pages 612\[Dash]624, 1990. http://dx.doi.org/10.1007/BF01453591
- Polylogarithms, Dedekind Zeta functions, and the algebraic K-theory of fields
관련도서
- Spencer Bloch, Higher Regulators, Algebraic K-Theory, and Zeta Functions of Elliptic Curves http://books.google.com/books/about/Higher_Regulators_Algebraic _K _Theory _and.html?id=D7BDMNbxM1IC
- Serge Lang, Complex Analysis, Chapter XI. Section 2