"사각 피라미드 퍼즐"의 두 판 사이의 차이

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* Lucas problem 또는 Canonball problem 이라는 이름으로 불리기도 함.
 
* Lucas problem 또는 Canonball problem 이라는 이름으로 불리기도 함.
 
* [[타원곡선]]의 정수해 문제로 이해할 수 있음.<br><math>y^2=\frac{x(x+1)(2x+1)}{6}</math><br>
 
* [[타원곡선]]의 정수해 문제로 이해할 수 있음.<br><math>y^2=\frac{x(x+1)(2x+1)}{6}</math><br>
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<h5><br> 풀이</h5>
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자명하게 x, x+1, 2x+1 은 쌍쌍이 서로소.<br> 이 때, x 가 mod 6 에 대해 어떤 경우라도 성립하지 않음을 보이자. (참고로 서로소인 3 개의 수의 곱이 완전 제곱수라면 그 3 개의 수가 각각 완전제곱수 임을 자명하게 이용)<br> x ≡ 2, -2 (mod 6) -> 계산해 보면 각각 (3t+1)(2t+1)(12t+5) = y² 과 (3t-1)(6t-1)(4t-1) = y² 이 나오는데 이 두 경우 모두 X² ≡ -1 (mod 4) 로 모순임을 쉽게 보일 수 있다.<br> 마찬가지로 x ≡ 3, -1 (mod 6) 일 때 에도 계산해 보면 각각 (2t+1)(3t+2)(12t+7) = y² 과 (6t+5)(t+1)(12t+11) = y² 이 나오는데 이 경우도 마찬가지로 X² ≡ -1 (mod 4) 로 모순임을 쉽게 보일 수 있다. 다음 댓글로....<br> 이제 x ≡ 0, 1 (mod 6) 일 때 에만 보이면 되는데 0 일 때 만 보이면 1 일 때 에도 자명하게 되므로 0 일 때만 보이도록 하겠다. 식에 대입하면<br> t(6t+1)(12t+1) = y². 이 때 편의상 6t + 1 = p², 12t + 1 = q² 이다. 우리는 p 가 7 이상이면 아래의 식이 성립함을 쉽게 알 수 있다. -> ([√2 * p])² < 2p² - 1 ( 단순히 생각해 보면 자명하게 맞음...) 또한, [X] > X - 1 임을 이용하면<br> ([√2 p] + 1)² > 2p² -1 이다. 따라서, p 가 7 이상이 되면 두 연속한 제곱수 사이에 다른 제곱수가 존재하므로 모순.. 따라서 p 는 6 이하가 된다. 이 때 대입해 보면 p 가 2 일 때, 해 (x,y) = (24, 70) 이 나오게 된다.<br> 마찬가지로 x ≡ 3 (mod 6) 일 때 에도 해보면 (6t+1)(3t+1)(4t+1) = y² 이 나오는데 3t + 1 을 p², 6t+1 = q² 이라 하면 q² = 2p² - 1 이 되는 아까와 동일한 상황이 되어 해보면 (1,1) 이 나온다. 따라서, 답은 (1,1) 과 (24, 70)
  
 
 
 
 
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<h5>정수계수 타원곡선으로의 변형</h5>
 
<h5>정수계수 타원곡선으로의 변형</h5>
  
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<math>x=\frac{x_1-6}{12}</math>, <math>y=\frac{y_1}{72}</math>
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를 사용하면,
 
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/
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* http://mathworld.wolfram.com/SquarePyramidalNumber.html
 
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
 
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
 
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]

2009년 10월 16일 (금) 20:01 판

간단한 소개
  • 공을 다음 그림처럼 피라미드 모양으로 쌓는다고 하면, 피라미드가 몇 층이 될 때, 공의 개수가 완전제곱수가 되는가?

[/pages/2054496/attachments/925572 q138.png]

  • 수식으로 표현하면 다음과 같은 디오판투스 방정식이 얻어짐.
    \(1^2+\cdots+ n^2 =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=m^2\)
  • 답은 두 쌍이 존재.
    (n,m)=(1,1) or (24,70)
  • Lucas problem 또는 Canonball problem 이라는 이름으로 불리기도 함.
  • 타원곡선의 정수해 문제로 이해할 수 있음.
    \(y^2=\frac{x(x+1)(2x+1)}{6}\)

 

 


풀이

자명하게 x, x+1, 2x+1 은 쌍쌍이 서로소.
이 때, x 가 mod 6 에 대해 어떤 경우라도 성립하지 않음을 보이자. (참고로 서로소인 3 개의 수의 곱이 완전 제곱수라면 그 3 개의 수가 각각 완전제곱수 임을 자명하게 이용)
x ≡ 2, -2 (mod 6) -> 계산해 보면 각각 (3t+1)(2t+1)(12t+5) = y² 과 (3t-1)(6t-1)(4t-1) = y² 이 나오는데 이 두 경우 모두 X² ≡ -1 (mod 4) 로 모순임을 쉽게 보일 수 있다.
마찬가지로 x ≡ 3, -1 (mod 6) 일 때 에도 계산해 보면 각각 (2t+1)(3t+2)(12t+7) = y² 과 (6t+5)(t+1)(12t+11) = y² 이 나오는데 이 경우도 마찬가지로 X² ≡ -1 (mod 4) 로 모순임을 쉽게 보일 수 있다. 다음 댓글로....
이제 x ≡ 0, 1 (mod 6) 일 때 에만 보이면 되는데 0 일 때 만 보이면 1 일 때 에도 자명하게 되므로 0 일 때만 보이도록 하겠다. 식에 대입하면
t(6t+1)(12t+1) = y². 이 때 편의상 6t + 1 = p², 12t + 1 = q² 이다. 우리는 p 가 7 이상이면 아래의 식이 성립함을 쉽게 알 수 있다. -> ([√2 * p])² < 2p² - 1 ( 단순히 생각해 보면 자명하게 맞음...) 또한, [X] > X - 1 임을 이용하면
([√2 p] + 1)² > 2p² -1 이다. 따라서, p 가 7 이상이 되면 두 연속한 제곱수 사이에 다른 제곱수가 존재하므로 모순.. 따라서 p 는 6 이하가 된다. 이 때 대입해 보면 p 가 2 일 때, 해 (x,y) = (24, 70) 이 나오게 된다.
마찬가지로 x ≡ 3 (mod 6) 일 때 에도 해보면 (6t+1)(3t+1)(4t+1) = y² 이 나오는데 3t + 1 을 p², 6t+1 = q² 이라 하면 q² = 2p² - 1 이 되는 아까와 동일한 상황이 되어 해보면 (1,1) 이 나온다. 따라서, 답은 (1,1) 과 (24, 70)

 

정수계수 타원곡선으로의 변형

\(x=\frac{x_1-6}{12}\), \(y=\frac{y_1}{72}\) 

를 사용하면,

\(y_1^2=x_1^3-36x_1\) 를 얻는다.

\(y^2=\frac{x(x+1)(2x+1)}{6}\) 의 정수해는 \(y_1^2=x_1^3-36x_1\)의 정수해를 주게 되므로, \(y_1^2=x_1^3-36x_1\)의 정수해를 찾으면 된다(?)

 

 

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