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<h5>최단시간강하곡선 문제(Brachistochrone problem)</h5>
 
<h5>최단시간강하곡선 문제(Brachistochrone problem)</h5>
  
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* 최단시간강하곡선 문제(Brachistochrone problem)
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* [[최단시간강하곡선 문제(Brachistochrone problem)]] 에서 다룸
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* 중력을 받고 있는 물체가 정지상태에서 출발하여 가장 짧은 시간내에 하강하기 위해서 따라야 하는 곡선
 
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*  1697년에 베르누이에 의하여 답이 출판<br>[/pages/4402517/attachments/3980829 ParabNickF.gif]<br>
 
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* http://books.google.com/books?id=dptKVr-5LJAC&pg=PA223&sig=PVA7Q1U_MyXinobyhOf54BwjShQ&hl=en#v=onepage&q&f=false
 
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곡선의 시작점을 <math>(x_0,y_0)=(0,0)</math>, 끝점을 <math>(x_1,y_1)</math>라 두자.
 
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곡선을 따라 내려올때 걸리는 시간은 다음과 같이 구할 수 있다.
 
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<math>t=\int \frac{1}{v} \, ds</math>(v는 속력, ds 는 길이요소, t는 시간)
 
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에너지 보존 법칙 <math>mgy=\frac{1}{2}mv^2</math>  에서<math>v=\sqrt{2gy}</math>.
 
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이제 곡선의 x좌표를 y의 함수로 생각하자. 곡선을 따라 내려올 때 걸리는 시간은
 
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<math>T=\int \frac{1}{v} \, ds=\frac{1}{\sqrt{2g}}\int_{0}^{y} \frac{\sqrt{1+x'(y)^2}}{\sqrt{y}} \, dy</math>
 
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문제의 정의에 따라 이 적분값을 최소가 되게 하는 곡선을 찾아야 한다.
 
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<math>F(y,x,x')=\frac{\sqrt{1+(x')^2}}{\sqrt{y}}</math> 에 대하여 [[오일러-라그랑지 방정식]] 을 적용하면,
 
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<math>0 =\frac{\partial F}{\partial x} - \frac{d}{dy} \frac{\partial F}{\partial x'}=-\frac{d}{dy}(\frac{x'(y)}{\sqrt{y(1+x'(y)^2)}})</math>
 
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적당한 상수 a에 대하여 <math>\frac{x'(y)}{\sqrt{y(1+x'(y)^2)}}=\frac{1}{\sqrt{2a}}</math>라 두자.
 
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이를 풀면 미분방정식  <math>\frac{dx}{dy}=\sqrt{{\frac{y}{2a-y}}</math> 를 얻는다.
 
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(미분방정식의 여러 해에 대한 논의는 http://whistleralley.com/brachistochrone/brachistochrone.htm)
 
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 <math>x=\int_{0}^{y}\sqrt{\frac{y}{2a-y}}dy</math>
 
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<math>y=2a\sin^2\frac{\theta}{2}=a(1-\cos\theta)</math>로 치환하면, <math>x=a(\theta-\sin\theta)</math>를 얻는다.
 
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여기서 상수 a는 주어진 점 <math>(x_1,y_1)</math>를 지날 수 있는 값으로 결정된다.
 
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따라서 사이클로이드를 얻었다.
 
  
 
 
 
 
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<h5>재미있는 사실</h5>
 
<h5>재미있는 사실</h5>
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Half-pipe ?
 
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* Half-Pipe Skateboarding ?
 
  
 
 
 
 
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<h5>관련된 항목들</h5>
 
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<h5 style="background-position: 0px 100%; font-size: 1.16em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); line-height: 3.42em; font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif;">수학용어번역</h5>
 
  
 
*  Brachistochrone curve<br>
 
*  Brachistochrone curve<br>
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* http://wiessen.tistory.com/68
 
* http://wiessen.tistory.com/68
 
* http://wiessen.tistory.com/62
 
* http://wiessen.tistory.com/62
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* 구글 블로그 검색 [http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=%EC%82%AC%EC%9D%B4%ED%81%B4%EB%A1%9C%EC%9D%B4%EB%93%9C http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=사이클로이드]
 
 
* [http://navercast.naver.com/science/math/807 사이클로이드]<br>
 
* [http://navercast.naver.com/science/math/807 사이클로이드]<br>
 
** 이광연, [http://navercast.naver.com/science/list 네이버 오늘의과학], 2009-7-21
 
** 이광연, [http://navercast.naver.com/science/list 네이버 오늘의과학], 2009-7-21
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* [http://math.dongascience.com/ 수학동아]
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* 구글 블로그 검색 [http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=%EC%82%AC%EC%9D%B4%ED%81%B4%EB%A1%9C%EC%9D%B4%EB%93%9C http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=사이클로이드]
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* [http://www.ams.org/mathmoments/ Mathematical Moments from the AMS]
 

2010년 12월 31일 (금) 15:49 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요
  • 직선을 따라서 원을 굴릴때, 원 위의 한 점이 그리는 궤적을 사이클로이드라 함
  • 원점에서 출발하여 반지름이 \(r\)인 원을 통해서 얻어지는 사이클로이드의 방정식

\(x = r(t - \sin t)\)

\(y = r(1 - \cos t)\)

  • 등시성 문제와 최단시간강하곡선 문제의 답이다

 

[/pages/4402517/attachments/2339125 cycloid.gif]

 

 

등시강하곡선 문제 (Tautochrone problem)

 

 

최단시간강하곡선 문제(Brachistochrone problem)

 

 

 

 

재미있는 사실

 

 

메모
  • 요한 베르누이의 생각 - 빛이 밀도가 점점 증가하는 물질의 (중력을 받고 있는...) 연속적인 층을 통과할 때 만드는 곡선

 

많이 나오는 질문

 

역사

 

 

 

 

 

사전 형태의 자료

 

 

관련논문

 

 

관련도서

 

 

관련링크와 웹페이지

 

 

 

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