삼각함수의 일반화

간단한 소개

• 곡선의 매개화 함수들 -> uniformization
• 타원함수론, 보형함수론 -> uniformization
• 유한군의 표현론 character 
• 리대수의 표현론 
• 세타함수 
• orthogonal polynomials

 

 

삼각함수와 타원함수

• 타원함수는 두 세타함수의 비(quotient)로 얻어짐.
• 이러한 관점에서 \(\sin z\),  \(\cos z\) 를 타원함수에 비유할 수 있고, \(\tan z=\frac{\sin z}{\cos z}\) 를 타원함수에 비유할 수 있음.
• \(\sin (z+\pi)=-\sin z\), \(\cos (z+\pi)=-\cos z\) 는 \(\chi : \mathhbb{Z} \to \{\pm1\}\) 로 주어지는 modular form
  
  • 타원함수의 무한곱표현과 유사한  \(\sin z\),  \(\cos z\) 의 무한곱표현도 있음.
• 둘의 비를 취함으로써, \(\tan (z+\pi)=\tan z\) 주기함수를 얻는다.