세르 관계식 (Serre relations)

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• 세르 관계식 (Serre relations)

 

 

개요

• simple 리대수의 특별한 생성원이 만족시키는 관계식
• 카르탄 행렬이 주어질 때, 리대수를 생성원과 관계식으로 얻을 수 있다
• 캐츠-무디 대수로 확장된다

 

 

세르 관계식

• l : 리대수 \(\mathfrak{g}\)의 rank 
• \((a_{ij})\) : 카르탄 행렬
• 생성원 \(e_i,h_i,f_i , (i=1,2,\cdots, l)\)
• 세르 관계식
  
  • \(\left[h_i,h_j\right]=0\)
  • \(\left[e_i,f_j\right]=\delta _{i,j}h_i\)
  • \(\left[h_i,e_j\right]=a_{i,j}e_j\)
  • \(\left[h_i,f_j\right]=-a_{i,j}f_j\)
  • \(\left(\text{ad} e_i\right){}^{1-a_{i,j}}\left(e_j\right)=0\) (\(i\neq j\))
  • \(\left(\text{ad} f_i\right){}^{1-a_{i,j}}\left(f_j\right)=0\) (\(i\neq j\))
• ad 는 adjoint 의 약자
  
  • \(\left(\text{ad} x\right){}^{3}\left(y\right)=[x, [x, [x, y]]]\)
  • \(\left(\text{ad} x\right){}^{4}\left(y\right)=[x, [x, [x, [x, y]]]]\)

 

 

sl(3)의 예

• 카르탄 행렬
  \(\left( \begin{array}{cc} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{array} \right)\)
  
• \(i\neq j\) 일 때
  \(\left(\text{ad} e_i\right){}^{2}\left(e_j\right)=[e_i, [e_i,e_j]]=0\)
  \(\left(\text{ad} f_i\right){}^{2}\left(f_j\right)=[f_i, [f_i,f_j]]=0\)
  

 

 

 

UEA 에서의 관계식

• 카르탄행렬이 \((a_{ij})\) 로 주어지는 리대수 \(\mathfrak{g}\)의 UEA \(U(\mathfrak{g})\) 에서 다음의 두 식
  \(\left(\text{ad} e_i\right){}^{1-a_{i,j}}\left(e_j\right)=0\) (\(i\neq j\)), \(\left(\text{ad} f_i\right){}^{1-a_{i,j}}\left(f_j\right)=0\) (\(i\neq j\))
  
• 다음과 같이 표현할 수 있다
  \(\sum_{k=0}^{1-a_{i,j}}(-1)^k \binom{1-a_{i,j}}{k}e_{i}^{1-a_{i,j}-k}e_{j}e_{i}^k=0\)
  \(\sum_{k=0}^{1-a_{i,j}}(-1)^k \binom{1-a_{i,j}}{k}f_{i}^{1-a_{i,j}-k}f_{j}f_{i}^k=0\)
  
• 풀어 쓰면 다음과 같은 형태가 된다
  \(x\otimes x\otimes y-2 x\otimes y\otimes x+y\otimes x\otimes x\)
  \(x\otimes x\otimes x\otimes y-3 x\otimes x\otimes y\otimes x+3 x\otimes y\otimes x\otimes x-y\otimes x\otimes x\otimes x\)
  \(x\otimes x\otimes x\otimes x\otimes y-4 x\otimes x\otimes x\otimes y\otimes x+6 x\otimes x\otimes y\otimes x\otimes x-4 x\otimes y\otimes x\otimes x\otimes x+y\otimes x\otimes x\otimes x\otimes x\)
  

 

역사

 

• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사연표

 

 

메모

 

• Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=

 

 

 

 

수학용어번역

• 단어사전
  
  • http://translate.google.com/#en%7Cko%7C
  • http://ko.wiktionary.org/wiki/
• 발음사전 http://www.forvo.com/search/
• 대한수학회 수학 학술 용어집
  
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
• 한국통계학회 통계학 용어 온라인 대조표
• 한국물리학회 물리학 용어집 검색기
• 남·북한수학용어비교
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

 

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxdXBTZ0piWXp6eWc/edit
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• http://functions.wolfram.com/
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
• Numbers, constants and computation
• 매스매티카 파일 목록

 

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/
• The Online Encyclopaedia of Mathematics
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The World of Mathematical Equations

 

 

 

 

 

관련논문

• http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
• http://www.ams.org/mathscinet
• http://dx.doi.org/

 

 

관련도서

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