"5차방정식과 근의 공식"의 두 판 사이의 차이

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이 방정식의 해 ㅛ가 계수로부터 시작하여 근호와 사칙연산을 통해 표현할 수 있다고 가정하자
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2010년 1월 31일 (일) 19:05 판

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개요

 

 

증명의 개요
  • We start from the field of symmetric functions.
  • Essentially, we are studying the radical extension of that base field.
  • The proof is consisted of two steps.
  • radicals to express the quintic formula can be expressed in terms of roots
  • the behavior of radicals under permutations

 

 

 

오차방정식

 

 

  • \(x^5 - s_{1} x^{4} + s_{2} x^{3} -s_{3}x^{2}+s_{4} x - s_5= 0\)

 

 

  • \(K=\mathbb{C}(x_1,x_2\cdots,x_5)\)
  • \(F=\mathbb{C}(s_1,s_2,\cdots,s_n)\)

 

이 방정식의 해 ㅛ가 계수로부터 시작하여 근호와 사칙연산을 통해 표현할 수 있다고 가정하자

 

 

 

 

 

 

solvable in radicals

 

 

 

Monodromy proof

Consider \(3w^5-25w^3+60w-z=0\).

For \(z=\pm 38\) and \(z=\pm 16\), the above equation has four distinct roots.

These are the branch points and determines the Riemann surfaces.

Then the monodromy group is acting as a permutation of sheets and not solvable.

(This is a little different from the Galois group.)

We can apply this monodromy idea to the computation of Galois groups of number fields.

 

 

regular proof

\(f(x)=2x^5-5x^4+5\) is the irreducible polynomial of degree 5 over the rationals.

It has two complex and 3 real roots.

This implies the Galois group is \(S_5\).

 

 

일반적인 n차 방정식

 

일반적인 방정식

\(x^n - s_{1} x^{n-1} + s_{2} x^{n-2} + \cdots + (-1)^{n-1}s_{n-1} x +(-1)^n s_n= 0\)

 

\(K=\mathbb{C}(x_1,\cdots,x_n)\)

\(F=\mathbb{C}(s_1,\cdots,s_n)\)

 

 

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링크

 

 

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