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<h5>j-invariant</h5>
 
<h5>j-invariant</h5>
  
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<math>j(\tau)= {E_4(\tau)^3\over \Delta(\tau)}= q^{-1}+744+196884q+21493760q^2+\cdots</math>
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* [[타원 모듈라 j-함수 (elliptic modular function, j-invariant)|j-invariant]] 항목을 참조
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<math>j(\tau)=1728\frac{g_2^3}{g_2^3-27g_3^2}</math>
 
  
 
 
 
 
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<math> E_4(\tau)=1+240\sum_{n>0}\sigma_3(n)q^n= 1+240q+2160q^2+\cdots</math>
 
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<math>(\sigma_3(n)=\sum_{d|n}d^3)</math>
 
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<math>\Delta(\tau)= q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}= q-24q+252q^2+\cdots</math>
 
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<math>j(\tau) = \frac{1}{{q}} + 744 + 196884{q} + 21493760{q}^2 + 864299970{q}^3 + \cdots</math><br> 이 때, <math>{q} = e^{2\pi i\tau}</math>
 
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<math> j(\tau)= {E_4(\tau)^3\over \Delta(\tau)}= q^{-1}+744+196884q+21493760q^2+\cdots</math>
 
  
 
 
 
 
  
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<math> E_4(\tau)=1+240\sum_{n>0}\sigma_3(n)q^n= 1+240q+2160q^2+\cdots</math>
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<h5>재미있는 사실</h5>
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<math>(\sigma_3(n)=\sum_{d|n}d^3)</math>
 
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<math>\Delta(\tau)= q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}= q-24q+252q^2+\cdots</math>
 
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* 라마누잔은 <math>\large e^{\pi \sqrt{163}}=262537412640768743.99999999999925\cdots</math> 와 같은 계산을 많이 남겼음
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* 이와 유사한 공식들을 <math>\pi</math> 의 근사공식에 사용. [[라마누잔과 파이]] 항목을 참조
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* In his Field’s Medal lecture, Richard Borcherds said that every mathematician should see once in his/her life why this should be the case, and this essay is an attempt to do just that.
  
 
 
 
 
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* [[1964250|0 토픽용템플릿]]<br>
 
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** [[2060652|0 상위주제템플릿]]<br>
 
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<h5>재미있는 사실</h5>
 
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* Ramanujan observed that <math>\large e^{\pi \sqrt{163}}=262537412640768743.99999999999925\cdots</math> is within <math>10^{-12}</math> of an integer and used this to obtain approximations to <math>\pi</math>. In his Field’s Medal lecture, Richard Borcherds said that every mathematician should see once in his/her life why this should be the case, and this essay is an attempt to do just that.
 
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* <math>640320^3= 262537412640768744</math>
 
  
 
 
 
 

2009년 10월 24일 (토) 00:53 판

간단한 소개
  • \(\large e^{\pi \sqrt{163}}=262537412640768743.9999999999992500725\cdots\approx 262537412640768744\)
  • \(e^{\pi \sqrt{43}} = 884736743.9997774660349066619374620785\approx 884736744\)
  • \(e^{\pi \sqrt{67}} = 147197952743.9999986624542245068292613\approx 147197952744\)

 

셋 모두 끝 세 자리가 744

 

complex multiplication

 

 

j-invariant

 

 

재미있는 사실
  • 라마누잔은 \(\large e^{\pi \sqrt{163}}=262537412640768743.99999999999925\cdots\) 와 같은 계산을 많이 남겼음
  • 이와 유사한 공식들을 \(\pi\) 의 근사공식에 사용. 라마누잔과 파이 항목을 참조
  • In his Field’s Medal lecture, Richard Borcherds said that every mathematician should see once in his/her life why this should be the case, and this essay is an attempt to do just that.

 

 

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