"슈르 다항식(Schur polynomial)"의 두 판 사이의 차이

2012년 2월 1일 (수) 09:46 판

변수의 개수 n과 d의 분할(partition)이 \(\lambda\)가 주어지면 d차 다항식 \( s_\lambda(x_1,\ldots,x_n)\) 이 결정된다
다음과 같은 두 개의 d의 분할을 생각하자
- \(\rho : n-1,n-2,\cdots, 0\)
- \(\lambda: \lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \cdots \geq \lambda_n\geq 0\)
\(a_{\lambda+\rho}=\operatorname{det}(x_{i}^{\lambda_{j}+n-j})\)
\(a_{\rho}=\operatorname{det}(x_{i}^{n-j})\)
반데몬드 행렬과 행렬식 (Vandermonde matrix)
슈르다항식은 다음과 같이 정의된다
\(s_{\lambda} = \frac{a_{\lambda+\rho}}{a_{\rho}}\)

\(s_\lambda(x_1,\ldots,x_n) = \sum_T w(T)\)

여기서 sum is over all semistandard Young tableaux T of shape λ

explicit expression of Schur polynomials as a polynomial in the complete homogeneous symmetric polynomials:
\(s_{\lambda} = \operatorname{det}(h_{\lambda_{i}-i+j})\)

\(s_{\lambda} =\sum_{w\in S_{r} } \epsilon(w) h_{\lambda+\rho - w.\lambda}\)

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 * [[슈르 다항식(Schur polynomial)]]
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 ** <math>\rho : n-1,n-2,\cdots, 0</math>
 ** <math>\lambda: \lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \cdots \geq \lambda_n\geq 0</math>
-* <math>a_{\lambda+\rho}=\operatorname{det}(x_{i}^{\lambda_{j}+r-j})</math>
+* <math>a_{\lambda+\rho}=\operatorname{det}(x_{i}^{\lambda_{j}+n-j})</math>
-* <math>a_{\rho}=\operatorname{det}(x_{i}^{r-j})</math>
+* <math>a_{\rho}=\operatorname{det}(x_{i}^{n-j})</math>
+* [[반데몬드 행렬과 행렬식 (Vandermonde matrix)]]
 *  슈르다항식은 다음과 같이 정의된다<br><math>s_{\lambda} = \frac{a_{\lambda+\rho}}{a_{\rho}}</math><br>