"슈르 다항식(Schur polynomial)"의 두 판 사이의 차이

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==개요==
 
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* [[대칭다항식]]의 하나
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* 수학의 많은 영역에서 등장함
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* [[대칭군의 표현론]]에서 중요한 역할
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==정의==
  
 
* 변수의 개수 n과 d의 분할(partition)이 <math>\lambda</math>가 주어지면 d차 다항식 <math> s_\lambda(x_1,\ldots,x_n)</math> 이 결정된다
 
* 변수의 개수 n과 d의 분할(partition)이 <math>\lambda</math>가 주어지면 d차 다항식 <math> s_\lambda(x_1,\ldots,x_n)</math> 이 결정된다
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* \ref{van}의 $a_{\rho}$는 [[반데몬드 행렬과 행렬식 (Vandermonde matrix)]]에서 등장하는 반데몬드 다항식이다
 
* \ref{van}의 $a_{\rho}$는 [[반데몬드 행렬과 행렬식 (Vandermonde matrix)]]에서 등장하는 반데몬드 다항식이다
 
*  슈르다항식은 다음과 같이 정의된다 :<math>s_{\lambda} = \frac{a_{\lambda+\rho}}{a_{\rho}}</math><br>
 
*  슈르다항식은 다음과 같이 정의된다 :<math>s_{\lambda} = \frac{a_{\lambda+\rho}}{a_{\rho}}</math><br>
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* 교대다항식을 반데몬드 다항식으로 나누어 얻어지므로, [[대칭다항식]]이 된다
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2012년 11월 30일 (금) 15:14 판

이 항목의 수학노트 원문주소

 

 

개요



정의

  • 변수의 개수 n과 d의 분할(partition)이 \(\lambda\)가 주어지면 d차 다항식 \( s_\lambda(x_1,\ldots,x_n)\) 이 결정된다
  • 다음과 같은 두 개의 분할을 생각하자
    • \(\rho : n-1,n-2,\cdots, 0\)
    • d의 (크기가 n인) 분할 \[\lambda: \lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \cdots \geq \lambda_n\geq 0\]
  • 다음과 같이 $n\times n$ 행렬의 행렬식으로 두 다항식을 정의하자

\[a_{\lambda+\rho}=\operatorname{det}(x_{i}^{\lambda_{j}+n-j})_{1\le i,j\le n}\] \[a_{\rho}=\operatorname{det}(x_{i}^{n-j})_{1\le i,j\le n}\label{van}\]

 

예

  • 변수의 개수가 3이고, 4의 분할인 경우의 슈르 다항식

\[ \left( \begin{array}{cc} \{4,0,0,0\} & x_1^4+x_1^3 x_2+x_1^2 x_2^2+x_1 x_2^3+x_2^4+\left(x_1^3+x_1^2 x_2+x_1 x_2^2+x_2^3\right) x_3+\left(x_1^2+x_1 x_2+x_2^2\right) x_3^2+\left(x_1+x_2\right) x_3^3+x_3^4 \\ \{3,1,0,0\} & x_1^3 x_2+x_1^2 x_2^2+x_1 x_2^3+x_1^3 x_3+2 x_1^2 x_2 x_3+2 x_1 x_2^2 x_3+x_2^3 x_3+x_1^2 x_3^2+2 x_1 x_2 x_3^2+x_2^2 x_3^2+x_1 x_3^3+x_2 x_3^3 \\ \{2,2,0,0\} & x_1^2 x_2^2+x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_1^2 x_3^2+x_1 x_2 x_3^2+x_2^2 x_3^2 \\ \{2,1,1,0\} & x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_1 x_2 x_3^2 \\ \{1,1,1,1\} & 0 \end{array} \right) \]

 

 

 

영 태블로

\(s_\lambda(x_1,\ldots,x_n) = \sum_T w(T)\)

여기서 sum is over all semistandard Young tableaux T of shape λ

 

 

The first Giambelli formula (Jacobi-Trudy 항등식)

  • 슈르 다항식은 complete homogeneous polynomial 의 다항식으로 표현할 수 있다
  • \(s_{\lambda} = \operatorname{det}(h_{\lambda_{i}-i+j})\)
  • 변수가 3인 경우의 complete homogeneous polynomial은 다음과 같다 \[\left( \begin{array}{cc} h_1 & x_1+x_2+x_3 \\ h_2 & x_1^2+x_1 x_2+x_2^2+x_1 x_3+x_2 x_3+x_3^2 \\ h_3 & x_1^3+x_1^2 x_2+x_1 x_2^2+x_2^3+x_1^2 x_3+x_1 x_2 x_3+x_2^2 x_3+x_1 x_3^2+x_2 x_3^2+x_3^3 \\ h_4 & x_1^4+x_1^3 x_2+x_1^2 x_2^2+x_1 x_2^3+x_2^4+x_1^3 x_3+x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_2^3 x_3+x_1^2 x_3^2+x_1 x_2 x_3^2+x_2^2 x_3^2+x_1 x_3^3+x_2 x_3^3+x_3^4 \end{array} \right)\]
  • 예. \[s_{(2,1,1)}(x_1,x_2,x_3)=h_1^2 h_2-h_2^2-h_1 h_3+h_4\]

 

 

역사

 

 

 

메모

\(s_{\lambda} =\sum_{w\in S_{r} } \epsilon(w) h_{\lambda+\rho - w.\lambda}\)

 

 

관련된 항목들


 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

 

 

수학용어번역

 

 

 

사전 형태의 자료

 

 

리뷰논문, 에세이, 강의노트

 

 

 


 

 

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