"쌍곡함수"의 두 판 사이의 차이

수학노트
둘러보기로 가기 검색하러 가기
잔글 (찾아 바꾸기 – “==관련논문== * http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query= * http://www.ams.org/mathscinet * http://dx.doi.org/” 문자열을 “” 문자열로)
잔글 (찾아 바꾸기 – “<br><math>” 문자열을 “:<math>” 문자열로)
21번째 줄: 21번째 줄:
 
 
 
 
  
−
* [[지수함수]] 를 사용하여 정의할 수 있다<br><math>\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}</math><br><math>\cosh x = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2}</math><br><math>\tanh x =  \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac {\frac{1}{2}(e^x - e^{-x})} {\frac{1}{2}(e^x + e^{-x})} = \frac{e^{2x} - 1} {e^{2x} + 1}</math><br><math>\operatorname{sech}\,x = \frac{1}{\cosh x} = \frac {2} {e^x + e^{-x}}</math><br>
+
* [[지수함수]] 를 사용하여 정의할 수 있다:<math>\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}</math>:<math>\cosh x = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2}</math>:<math>\tanh x =  \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac {\frac{1}{2}(e^x - e^{-x})} {\frac{1}{2}(e^x + e^{-x})} = \frac{e^{2x} - 1} {e^{2x} + 1}</math>:<math>\operatorname{sech}\,x = \frac{1}{\cosh x} = \frac {2} {e^x + e^{-x}}</math><br>
  
 
 
 
 
57번째 줄: 57번째 줄:
  
 
* <math>B_n</math>은 [[베르누이 수|베르누이수]], <math>E_n</math>은 [[오일러수]]
 
* <math>B_n</math>은 [[베르누이 수|베르누이수]], <math>E_n</math>은 [[오일러수]]
−
*  쌍곡함수의 멱급수 표현은 다음과 같다<br><math>\tanh x = x - \frac {x^3} {3} + \frac {2x^5} {15} - \frac {17x^7} {315} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}, \left |x \right | < \frac {\pi} {2}</math><br><math>\coth x = \frac {1} {x} + \frac {x} {3} - \frac {x^3} {45} + \frac {2x^5} {945} + \cdots = \frac {1} {x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}} {(2n)!}, 0 < \left |x \right | < \pi</math><br><math>\operatorname {sech}\, x = 1 - \frac {x^2} {2} + \frac {5x^4} {24} - \frac {61x^6} {720} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2 n} x^{2n}}{(2n)!}</math><br>
+
*  쌍곡함수의 멱급수 표현은 다음과 같다:<math>\tanh x = x - \frac {x^3} {3} + \frac {2x^5} {15} - \frac {17x^7} {315} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}, \left |x \right | < \frac {\pi} {2}</math>:<math>\coth x = \frac {1} {x} + \frac {x} {3} - \frac {x^3} {45} + \frac {2x^5} {945} + \cdots = \frac {1} {x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}} {(2n)!}, 0 < \left |x \right | < \pi</math>:<math>\operatorname {sech}\, x = 1 - \frac {x^2} {2} + \frac {5x^4} {24} - \frac {61x^6} {720} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2 n} x^{2n}}{(2n)!}</math><br>
  
 
 
 
 

2013년 1월 12일 (토) 10:57 판

이 항목의 수학노트 원문주소

 

 

개요

 

 

쌍곡함수의 정의

 

  • 지수함수 를 사용하여 정의할 수 있다\[\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}\]\[\cosh x = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2}\]\[\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac {\frac{1}{2}(e^x - e^{-x})} {\frac{1}{2}(e^x + e^{-x})} = \frac{e^{2x} - 1} {e^{2x} + 1}\]\[\operatorname{sech}\,x = \frac{1}{\cosh x} = \frac {2} {e^x + e^{-x}}\]

 

 

항등식

  • \(\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1\)
  • \(\tanh ^{2}x=1-\operatorname{sech}^{2}x\)

 

 

미분

\((\sinh x)' = \frac{e^x + e^{-x}}{2}=\cosh x\)

\((\cosh x)' = \frac{e^{x} - e^{-x}}{2}=\sinh x\)

\((\tanh x)' = \frac{\cosh^2 x- \sinh^2 x}{\cosh^2 x}=\operatorname{sech}^{2}x\)

 

덧셈공식

  • \(\cosh \left(\theta _1\right) \cosh \left(\theta _2\right)-\sinh \left(\theta _1\right) \sinh \left(\theta _2\right)=\cosh \left(\theta _1-\theta _2\right)\)

 

 

쌍곡함수의 멱급수 표현

  • \(B_n\)은 베르누이수, \(E_n\)은 오일러수
  • 쌍곡함수의 멱급수 표현은 다음과 같다\[\tanh x = x - \frac {x^3} {3} + \frac {2x^5} {15} - \frac {17x^7} {315} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}, \left |x \right | < \frac {\pi} {2}\]\[\coth x = \frac {1} {x} + \frac {x} {3} - \frac {x^3} {45} + \frac {2x^5} {945} + \cdots = \frac {1} {x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}} {(2n)!}, 0 < \left |x \right | < \pi\]\[\operatorname {sech}\, x = 1 - \frac {x^2} {2} + \frac {5x^4} {24} - \frac {61x^6} {720} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2 n} x^{2n}}{(2n)!}\]

 

 

 

역사

 

 

 

메모

 

 

관련된 항목들

 

 

수학용어번역

 

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

 

 

사전 형태의 자료

 

 

원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=쌍곡함수&oldid=25159"