"아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)"의 두 판 사이의 차이

2009년 7월 3일 (금) 12:15 판

\(k>1\)인 정수에 대하여, weight 2k의 아이젠슈타인급수는 다음과 같이 정의됨.
\(G_{2k}(\tau) = \sum_{ (m,n) \neq (0,0)} \frac{1}{(m+n\tau )^{2k}}\)

만약 위의 정의에서 반드시 짝수가 아닌 정수 \(k>1\)에 대해 \(G_k\)를 같은 방식으로 정의했다면, k가 홀수인 경우는 \(G_k=0\)가 됨.

모듈라 성질
\(G_{2k} \left( \frac{ a\tau +b}{ c\tau + d} \right) = (c\tau +d)^{2k} G_{2k}(\tau)\)

모듈라 형식이 되기 위해서는 cusp에서의 growth 조건 즉, \(\tau=i\infty\)에서의 푸리에 전개가 필요하며 다음과 같이 주어짐
\(G_{2k}(\tau) = 2\zeta(2k) \left(1+c_{2k}\sum_{n=1}^{\infty} \sigma_{2k-1}(n)q^{n} \right)\)
\(c_{2k} = \frac{(2\pi i)^{2k}}{(2k-1)! \zeta(2k)} = \frac {-4k}{B_{2k}} = \frac {2}{\zeta(1-2k)}\)

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 * <math>k>1</math>인 정수에 대하여, weight 2k의 아이젠슈타인급수는 다음과 같이 정의됨.<br><math>G_{2k}(\tau) = \sum_{ (m,n) \neq (0,0)} \frac{1}{(m+n\tau )^{2k}}</math><br>
+*  만약 위의 정의에서 반드시 짝수가 아닌 정수 <math>k>1</math>에 대해 <math>G_k</math>를 같은 방식으로 정의했다면, k가 홀수인 경우는  <math>G_k=0</math>가 됨.<br>
 *  모듈라 성질<br><math>G_{2k} \left( \frac{ a\tau +b}{ c\tau + d} \right) = (c\tau +d)^{2k} G_{2k}(\tau)</math><br>
+*   <br>
+*  모듈라 형식이 되기 위해서는 cusp에서의 growth 조건 즉, <math>\tau=i\infty</math>에서의 푸리에 전개가 필요하며 다음과 같이 주어짐<br><math>G_{2k}(\tau) = 2\zeta(2k) \left(1+c_{2k}\sum_{n=1}^{\infty} \sigma_{2k-1}(n)q^{n} \right)</math><br><math>c_{2k} = \frac{(2\pi i)^{2k}}{(2k-1)! \zeta(2k)} = \frac {-4k}{B_{2k}} = \frac {2}{\zeta(1-2k)}</math><br>
-*  모듈라 형식이 되기 위해서는 <math>\tau=i\infty</math>에서의 푸리에 전개<br>