"안장점 근사"의 두 판 사이의 차이

2012년 9월 24일 (월) 04:45 판

복소함수 적분의 근사에 사용되는 테크닉의 하나
안장점
복소함수 \(f(z)\)에 대하여 \(f'\left(z_0\right)=0\)인 \(z=z_0\)를 안장점이라 한다. \[f(z)=f\left(z_0\right)+\frac{1}{2}f\text{''}\left(z_0\right)\left(z-z_0\right){}^2+\cdots\] 이므로 가우시안 적분으로 근사된다.
일반적으로 N이 클 때, 다음과 같은 근사식이 성립한다
\(\int e^{Nf(x)}\,dx\approx \sqrt{\frac{2\pi}{N|f''(x_0)|}}e^{Nf(x_0)}\textrm{ as }N\to\infty\)
최대값 부근에서의 테일러 전개 \(f(x)\approx f(x_0)-\frac{1}{2}|f''(x_0)|(x-x_0)^2\)를 이용

\(N! = \Gamma(N+1)=\int_0^{\infty} e^{-x} x^N dx\) 에서 \(x=Nz\) 로 치환하면,

\(N!= \int_0^{\infty} e^{-N z} \left(N z \right)^N N dz=N^{N+1}\int_0^{\infty}e^{N(\ln z-z)} dz\)

\(f \left( z \right) = \ln{z}-z\)

\(f'(z) = \frac{1}{z}-1\)

\(f''(z) = -\frac{1}{z^2}\)

\(z_ 0=1\) 일 때, 최대값을 가지며, \(f (z)\approx -1-\frac{1}{2} (z-1)^2+O[z-1]^3\) 가 된다.

따라서

\(N! \approx N^{N+1}\int_0^{\infty}e^{-N}e^{-\frac{N (z-1)^2}{2}} dz \approx N^{N+1}\sqrt{\frac{2\pi}{N}} e^{-N}=\sqrt{2\pi N} N^N e^{-N}\)

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-<h5>매스매티카 파일 및 계산 리소스</h5>
+==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
 * https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxckFucGVEQlYxXzg/edit?pli=1
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-<h5>사전 형태의 자료</h5>
-* http://ko.wikipedia.org/wiki/
-* http://en.wikipedia.org/wiki/
-* [http://eom.springer.de/default.htm The Online Encyclopaedia of Mathematics]
-* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
-* [http://eqworld.ipmnet.ru/ The World of Mathematical Equations]
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 <h5>리뷰논문, 에세이, 강의노트</h5>