"약수의 합과 오일러 토션트"의 두 판 사이의 차이

2012년 6월 20일 (수) 14:41 판

자연수의 약수의 합
자연수 \(n\)에 대하여, 1부터 n까지의 양의 정수 중에 \(n\)의 약수인 수의 합을 \(\sigma(n)\) 으로 나타냄
\(\sigma(n)=\sum_{d|n}d\)
오일러의 totient 함수
1부터 n까지의 양의 정수 중에 n과 서로소인 수의 개수를 \(\varphi(n)\) 으로 둠

\(n=p_1 ^{\alpha _1} p_2 ^{\alpha _2} ... p_k ^{\alpha _k}\) 인 경우
\(\varphi (n) = p_1 ^{\alpha _1 - 1} p_2 ^{\alpha _2 - 1} ... p_k ^{\alpha _k - 1} (p_1 - 1)(p_2 - 1) .. (p_k - 1) \)
\(\sigma(n) = \frac{p_{1}^{\alpha_1+1}-1}{p_1-1}\cdots \frac{p_{k}^{\alpha_2+1}-1}{p_k-1}\)

다음과 같은 부등식을 이용할 수 있다.

\(\prod _{n=1}^k \left(x_n-y_n\right)+\prod _{n=1}^k \left(x_n+y_n\right)>2\prod _{n=1}^k x_n\)

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-<h5>아이디어</h5>
+<h5>풀이</h5>
-<math>\varphi (n) = p_1 ^{\alpha _1 - 1} p_2 ^{\alpha _2 - 1} ... p_n ^{\alpha _n - 1} (p_1 - 1)(p_2 - 1) .. (p_n - 1) </math>
+*
+* <math>n=p_1 ^{\alpha _1} p_2 ^{\alpha _2} ... p_k ^{\alpha _k}</math> 인 경우
+* <math>\varphi (n) = p_1 ^{\alpha _1 - 1} p_2 ^{\alpha _2 - 1} ... p_k ^{\alpha _k - 1} (p_1 - 1)(p_2 - 1) .. (p_k - 1) </math>
+* <math>\sigma(n) = \frac{p_{1}^{\alpha_1+1}-1}{p_1-1}\cdots \frac{p_{k}^{\alpha_2+1}-1}{p_k-1}</math>
+다음과 같은 부등식을 이용할 수 있다.
+<math>\prod _{n=1}^k \left(x_n-y_n\right)+\prod _{n=1}^k \left(x_n+y_n\right)>2\prod _{n=1}^k x_n</math>