"5항 관계식 (5-term relation)"의 두 판 사이의 차이

2010년 6월 20일 (일) 21:21 판

로저스 다이로그 함수 (Roger's dilogarithm) 의 정의
\(x\in (0,1)\)에서 로저스 dilogarithm을 다음과 같이 정의
\(L(x)=\operatorname{Li}_2(x)+\frac{1}{2}\log x\log (1-x)=-\frac{1}{2}\int_{0}^{x}\frac{\log(1-y)}{y}+\frac{\log(1-y)}{1-y}dy\)

로저스 다이로그 함수 \(L(x)\)에 대하여 다음이 성립한다
\(0\leq x,y\leq 1\) 일 때,
\(L(x)+L(1-xy)+L(y)+L(\frac{1-y}{1-xy})+L\Left( \frac{1-x}{1-xy} )\right)=\frac{\pi^2}{2}\)

q-이항정리
\(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}b^n=\frac{(ab;q)_{\infty}}{(b;q)_{\infty}}\)
z를 \((1-az)b=1-z\) 의 해로 정의, 즉
\(z=\frac{1-b}{1-ab}\)
\(q=e^{-t}\)이고 t가 0으로 갈 때, 양변의 근사식은 다음과 같다
좌변 \(\frac{\operatorname{Li}_2(az)-\operatorname{Li}_2(a)-\operatorname{Li}_2(z)+\operatorname{Li}_2(1)-\log z\log b}{t}\)
우변 \(\frac{\operatorname{Li}_2(b)-\operatorname{Li}_2(ab)}{t}\)
근사식을 비교하여 다음 항등식을 얻는다

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 <h5> q-이항정리</h5>
-* [[q-이항정리]]<br><math>\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}b^n=\frac{(ab;q)_{\infty}}{(b;q)_{\infty}}</math> <br>
+* [[q-이항정리]]<br><math>\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}b^n=\frac{(ab;q)_{\infty}}{(b;q)_{\infty}}</math> <br>  <br>
-*
+*  z를 <math>(1-az)b=1-z</math> 의 해로 정의, 즉<br><math>z=\frac{1-b}{1-ab}</math> <br>
-* z를 <math>(1-az)b=1-z</math> 의 해로 정의하자
+* <math>q=e^{-t}</math>이고 t가 0으로 갈 때, 양변의 근사식은 다음과 같다<br> 좌변  <math>\frac{\operatorname{Li}_2(az)-\operatorname{Li}_2(a)-\operatorname{Li}_2(z)+\operatorname{Li}_2(1)-\log z\log b}{t}</math><br> 우변 <math>\frac{\operatorname{Li}_2(b)-\operatorname{Li}_2(ab)}{t}</math><br>
+*  근사식을 비교하여 다음 항등식을 얻는다<br>  <br>