"에르미트 행렬(Hermitian matrix)과 대각화"의 두 판 사이의 차이

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<h5>개요</h5>
 
  
 
* <math> A = A^\dagger</math> 를 만족하는 복소계수 정사각행렬<br>
 
* <math> A = A^\dagger</math> 를 만족하는 복소계수 정사각행렬<br>
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*  에르미트 행렬 H에서 유니터리 행렬 <math>U=e^{i H}</math> 를 얻을 수 있다<br>
 
*  에르미트 행렬 H에서 유니터리 행렬 <math>U=e^{i H}</math> 를 얻을 수 있다<br>
 
*  에르미트 행렬의 스펙트럼을 구하는 문제는 물리학에서 중요하다<br>
 
*  에르미트 행렬의 스펙트럼을 구하는 문제는 물리학에서 중요하다<br>
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* [[대칭행렬의 대각화|대칭행렬]] 은 실수계수 에르미트 행렬이다
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<h5>spectral 정리</h5>
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==spectral 정리==
  
 
* <math>n\times n</math> 에르미트 행렬 A에 대하여 다음이 성립한다<br>
 
* <math>n\times n</math> 에르미트 행렬 A에 대하여 다음이 성립한다<br>
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** 행렬 A는 유니터리 대각화 가능하다
 
** 행렬 A는 유니터리 대각화 가능하다
  
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* <math>v\neq 0, Hv=\lambda v</math>라 두자.
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* <math>\lambda \langle v,v\rangle=\langle Hv,v \rangle=\langle v,H^\dagger v \rangle=\langle v,Hv \rangle=\bar{\lambda} \langle v,v\rangle </math>
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* <math>v,w\neq 0, Hv=\lambda v, Hw=\mu v, \lambda\neq \mu</math>라 두자.
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* <math>\lambda \langle v,w\rangle=\langle Hv,w \rangle=\langle v, Hw \rangle=\langle v,Hw \rangle=\mu \langle v,w\rangle </math>
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* 따라서 <math>\langle v,w\rangle =0 </math>
  
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*  에르미트 행렬<br><math>A=\left( \begin{array}{cccc}  1 & 0 & 0 & 0 \\  0 & 1 & 0 & 0 \\  0 & 0 & 0 & 1+i \\  0 & 0 & 1-i & 0 \end{array} \right)</math>  <br>
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*  에르미트 행렬<br><math>A=\left( \begin{array}{cccc}  1 & 0 & 0 & 0 \\  0 & 1 & 0 & 0 \\  0 & 0 & 0 & 1+i \\  0 & 0 & 1-i & 0 \end{array} \right)</math> <br>
 
*  행렬<br><math>U=\left( \begin{array}{cccc}  0 & 0 & 0 & 1 \\  0 & 0 & 1 & 0 \\  -\frac{1}{2}-\frac{i}{2} & \frac{1}{2}+\frac{i}{2} & 0 & 0 \\  \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0 \end{array} \right)</math><br> 의 각 열은 A의 고유벡터이며, <math>U^{\dagger}=U^{-1}</math> 가 성립한다.<br>
 
*  행렬<br><math>U=\left( \begin{array}{cccc}  0 & 0 & 0 & 1 \\  0 & 0 & 1 & 0 \\  -\frac{1}{2}-\frac{i}{2} & \frac{1}{2}+\frac{i}{2} & 0 & 0 \\  \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0 \end{array} \right)</math><br> 의 각 열은 A의 고유벡터이며, <math>U^{\dagger}=U^{-1}</math> 가 성립한다.<br>
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*  <math>D=U^{\dagger}AU</math> 는 대각행렬이다<br><math>D=\left( \begin{array}{cccc}  -\sqrt{2} & 0 & 0 & 0 \\  0 & \sqrt{2} & 0 & 0 \\  0 & 0 & 1 & 0 \\  0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)</math><br>  <br>  <br>
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*   <math>D=U^{\dagger}AU</math> 는 대각행렬이다<br><math>D=\left( \begin{array}{cccc}  -\sqrt{2} & 0 & 0 & 0 \\  0 & \sqrt{2} & 0 & 0 \\  0 & 0 & 1 & 0 \\  0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)</math><br> <br> <br>
  
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==역사==
  
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* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
 
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<h5>메모</h5>
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==메모==
  
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<h5>수학용어번역</h5>
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*  단어사전<br>
 
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** http://translate.google.com/#en|ko|
 
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** http://ko.wiktionary.org/wiki/
 
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* 발음사전 http://www.forvo.com/search/
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* 발음사전 http://www.forvo.com/search/
 
* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
 
* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
 
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=hermitian
 
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=hermitian
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* [http://www.kss.or.kr/pds/sec/dic.aspx 한국통계학회 통계학 용어 온라인 대조표]
 
* [http://www.kss.or.kr/pds/sec/dic.aspx 한국통계학회 통계학 용어 온라인 대조표]
 
* [http://cgi.postech.ac.kr/cgi-bin/cgiwrap/sand/terms/terms.cgi 한국물리학회 물리학 용어집 검색기]
 
* [http://cgi.postech.ac.kr/cgi-bin/cgiwrap/sand/terms/terms.cgi 한국물리학회 물리학 용어집 검색기]
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* [http://www.nktech.net/science/term/term_l.jsp?l_mode=cate&s_code_cd=MA 남·북한수학용어비교]
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* [http://www.nktech.net/science/term/term_l.jsp?l_mode=cate&s_code _cd=MA 남\[CenterDot]북한수학용어비교]
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* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
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* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7 BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A %7 D&boardname=% BC % F6 % C7 % D0 % BF % EB % BE % EE % C5 % E4 % B7 % D0 % B9 % E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
  
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<h5>매스매티카 파일 및 계산 리소스</h5>
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
  
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* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
 
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* http://functions.wolfram.com/
 
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* [https://docs.google.com/open?id=0B8XXo8Tve1cxMWI0NzNjYWUtNmIwZi00YzhkLTkzNzQtMDMwYmVmYmIxNmIw 매스매티카 파일 목록]
 
* [https://docs.google.com/open?id=0B8XXo8Tve1cxMWI0NzNjYWUtNmIwZi00YzhkLTkzNzQtMDMwYmVmYmIxNmIw 매스매티카 파일 목록]
  
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
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* [http://eqworld.ipmnet.ru/ The World of Mathematical Equations]
 
* [http://eqworld.ipmnet.ru/ The World of Mathematical Equations]
  
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<h5>리뷰논문, 에세이, 강의노트</h5>
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<h5>관련논문</h5>
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==관련논문==
  
 
* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
 
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* http://dx.doi.org/
 
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<h5>관련도서</h5>
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==관련도서==
  
 
*  도서내검색<br>
 
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** http://books.google.com/books?q=
 
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** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
 
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2012년 9월 20일 (목) 14:36 판

개요

  • \( A = A^\dagger\) 를 만족하는 복소계수 정사각행렬
    • \(A^\dagger\) 는 A의 conjugate tranpose
  • 에르미트 행렬 H에서 유니터리 행렬 \(U=e^{i H}\) 를 얻을 수 있다
  • 에르미트 행렬의 스펙트럼을 구하는 문제는 물리학에서 중요하다
  • 대칭행렬 은 실수계수 에르미트 행렬이다



spectral 정리

  • \(n\times n\) 에르미트 행렬 A에 대하여 다음이 성립한다
    • 행렬 A는 n개(counting multiplicity)의 실수인 고유값을 갖는다
    • 행렬 A의 서로 다른 고유값에 대응하는 고유벡터들은 직교한다
    • 행렬 A는 유니터리 대각화 가능하다



예

\(\begin{pmatrix} \alpha& \beta \\ \overline{\beta} &\alpha \end{pmatrix}\), \(\alpha\in \mathbf{R},\beta\in\mathbf{C}\)


실수의 고유값

  • \(v\neq 0, Hv=\lambda v\)라 두자.
  • \(\lambda \langle v,v\rangle=\langle Hv,v \rangle=\langle v,H^\dagger v \rangle=\langle v,Hv \rangle=\bar{\lambda} \langle v,v\rangle \)
  • \(\lambda=\bar{\lambda}\)


고유벡터의 직교

  • \(v,w\neq 0, Hv=\lambda v, Hw=\mu v, \lambda\neq \mu\)라 두자.
  • \(\lambda \langle v,w\rangle=\langle Hv,w \rangle=\langle v, Hw \rangle=\langle v,Hw \rangle=\mu \langle v,w\rangle \)
  • 따라서 \(\langle v,w\rangle =0 \)


예

  • 에르미트 행렬
    \(A=\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1+i \\ 0 & 0 & 1-i & 0 \end{array} \right)\)
  • 행렬
    \(U=\left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ -\frac{1}{2}-\frac{i}{2} & \frac{1}{2}+\frac{i}{2} & 0 & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0 \end{array} \right)\)
    의 각 열은 A의 고유벡터이며, \(U^{\dagger}=U^{-1}\) 가 성립한다.
  • \(D=U^{\dagger}AU\) 는 대각행렬이다
    \(D=\left( \begin{array}{cccc} -\sqrt{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)\)


역사



메모



관련된 항목들



수학용어번역



매스매티카 파일 및 계산 리소스



사전 형태의 자료



리뷰논문, 에세이, 강의노트

관련논문



관련도서

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