"역제곱 벡터장"의 두 판 사이의 차이

2012년 7월 30일 (월) 17:21 판

3차원에서의 벡터장을 생각하자
바깥쪽으로 향이 주어진 단위구면 S에 대하여, 다음을 얻는다
\(\iint_{S}\mathbf F\cdot\,{d}\mathbf{S}=4\pi\)
(정리)
\(\nabla\cdot\mathbf{F}=0\)
\(\nabla\times\mathbf{G}=\mathbf{F}\) 를 만족시키는 벡터장 \(\mathbf{G}\)가 존재하지 않는다
(증명)
\(\nabla\times\mathbf{G}=\mathbf{F}\) 를 만족시키는 벡터장 \(\mathbf{G}\) 를 가정하자.
스토크스 정리 를 적용하면, \(\iint_{S}\mathbf F\cdot\,{d}\mathbf{S}=\iint_S\ (\nabla\times\mathbf{G})\cdot\,d\mathbf{S}=\int_{\partial S}\mathbf G\cdot d\mathbf{r}=0\) 을 얻는다. 그러나
\(\iint_{S}\mathbf F\cdot\,{d}\mathbf{S}=4\pi\) 이므로 모순. ■

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 * 3차원에서의 벡터장을 생각하자
 *  바깥쪽으로 향이 주어진 단위구면 S에 대하여, 다음을 얻는다<br><math>\iint_{S}\mathbf F\cdot\,{d}\mathbf{S}=4\pi</math><br>
-*  (정리)<br><math>\nabla\times\mathbf{G}=\mathbf{F}</math> 를 만족시키는 벡터장 <math>\mathbf{G}</math>가 존재하지 않는다<br> (증명)<br><math>\nabla\times\mathbf{G}=\mathbf{F}</math> 를 만족시키는 벡터장 <math>\mathbf{G}</math> 를 가정하자.<br>[[스토크스 정리]] 를 적용하면, <math>\iint_{S}\mathbf F\cdot\,{d}\mathbf{S}=\iint_S\ (\nabla\times\mathbf{G})\cdot\,d\mathbf{S}=\int_{\partial S}\mathbf G\cdot d\mathbf{r}=0</math> 을 얻는다. 그러나<br><math>\iint_{S}\mathbf F\cdot\,{d}\mathbf{S}=4\pi</math> 이므로 모순. ■<br>
+*  (정리)<br><math>\nabla\cdot\mathbf{F}=0</math><br><math>\nabla\times\mathbf{G}=\mathbf{F}</math> 를 만족시키는 벡터장 <math>\mathbf{G}</math>가 존재하지 않는다<br> (증명)<br><math>\nabla\times\mathbf{G}=\mathbf{F}</math> 를 만족시키는 벡터장 <math>\mathbf{G}</math> 를 가정하자.<br>[[스토크스 정리]] 를 적용하면, <math>\iint_{S}\mathbf F\cdot\,{d}\mathbf{S}=\iint_S\ (\nabla\times\mathbf{G})\cdot\,d\mathbf{S}=\int_{\partial S}\mathbf G\cdot d\mathbf{r}=0</math> 을 얻는다. 그러나<br><math>\iint_{S}\mathbf F\cdot\,{d}\mathbf{S}=4\pi</math> 이므로 모순. ■<br>