"오일러-맥클로린 공식"의 두 판 사이의 차이

2009년 4월 29일 (수) 14:28 판

\(\sum_{i=0}^{n-1} f(i) = \int^n_0f(x)\,dx+B_1(f(n)-f(0))+\sum_{k=2}^p\frac{B_k}{k!}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(0)\right)+R\)

\(\left|R\right|\leq\frac{2}{(2\pi)^{2(p+1)}}\int_0^n\left|f^{(p)}(x)\right|\,dx\)

\(B_0=1\), \(B_1=-{1 \over 2}\), \(B_2={1\over 6}\), \(B_3=0\), \(B_4=-\frac{1}{30}\), \(B_5=0\), \(B_6=\frac{1}{42}\)

\(\sum_{i=0}^{n-1} f(i) = \int^n_0f(x)\,dx-\frac{1}{2}(f(n)-f(0))+\frac{1}{12}(f'(n)-f'(0))-\frac{1}{720}(f^{(3)}(n)-f^{(3)}(0))+\cdots\)

오일러는 위의 공식을, 아래의 계산이 맞음을 확인하는데 활용
\(\sum_{1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}\)

\(\int f(x)\,dx=-\frac{1}{x}\), \(f(x)=\frac{1}{x^2}\), \(f'(x)=-\frac{2}{x^3}\), \(f^{(2)}(x)=\frac{6}{x^4}\), \(f^{(3)}(x)=-\frac{24}{x^5}\)

\(\sum_{i=0}^{n-1} \frac{1}{i^2} = \int^n_0f(x)\,dx-\frac{1}{2}(f(n)-f(0))+\frac{1}{12}(f'(n)-f'(0))-\frac{1}{720}(f^{(3)}(n)-f^{(3)}(0))+\cdots\)

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-<math>\sum_{i=0}^n f(i) = \int^n_0f(x)\,dx-B_1(f(n)+f(0))+\sum_{k=2}^p\frac{B_k}{k!}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(0)\right)+R</math>
+<math>\sum_{i=0}^{n-1} f(i) = \int^n_0f(x)\,dx+B_1(f(n)-f(0))+\sum_{k=2}^p\frac{B_k}{k!}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(0)\right)+R</math>
 <math>\left|R\right|\leq\frac{2}{(2\pi)^{2(p+1)}}\int_0^n\left|f^{(p)}(x)\right|\,dx</math>
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 *  오일러는 위의 공식을, 아래의 계산이 맞음을 확인하는데 활용<br><math>\sum_{1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}</math><br>
+<math>\int f(x)\,dx=-\frac{1}{x}</math>, <math>f(x)=\frac{1}{x^2}</math>, <math>f'(x)=-\frac{2}{x^3}</math>, <math>f^{(2)}(x)=\frac{6}{x^4}</math>, <math>f^{(3)}(x)=-\frac{24}{x^5}</math>
+<math>\sum_{i=0}^{n-1} \frac{1}{i^2} = \int^n_0f(x)\,dx-\frac{1}{2}(f(n)-f(0))+\frac{1}{12}(f'(n)-f'(0))-\frac{1}{720}(f^{(3)}(n)-f^{(3)}(0))+\cdots</math>