"오일러의 공식"의 두 판 사이의 차이
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| + | 복소수지수를 정의하기 위해서, 실수범위까지 정의된 지수함수에 대해 복습을 해 보자. | ||
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| + | 위에 언급한 지수함수의 성질이 중요한 이유는, '''이 세가지 성질이 역으로 지수함수들을 규정'''하기 때문이다. 다시 말해, 이 세가지 성질을 만족시킬 수 있는 함수는 오직 지수함수 뿐이다. 이 세가지 성질을 만족시키는 함수를 찾으라고 한다면, 어떤 양수 <math>\alpha</math>가 있어서, | ||
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| + | 1. <math>f(0)=\cos 0+ i\sin 0=1</math><br> 2. <math>f(x)f(y)=(\cos x+ i\sin x)(\cos y+i\sin y)=cos (x+y)+i sin (x+y)=f(x+y)</math><br> 3. <math>\cos x,\sin x</math>이 미분가능하므로 <math>f</math> 역시 미분가능 | ||
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| + | 그저 삼각함수와 허수를 결합시켰을 뿐인데, 지수함수만이 만족시킬수 있는 함수가 신비스럽게도(?) 만들어졌다. | ||
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| + | 지수함수를 복소수 범위까지 확장하는데 있어서, 실수범위까지 정의되었던 지수함수가 만족시키는 성질과 미적분학의 규칙들을 보존하고 싶다면, 이제까지의 논의를 통해 우리에게 주어지는 선택지는 단 하나. | ||
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| + | 다시 말해, 실수 <math>x</math>에 대하여, <math>e^{ix}</math> 를 정의하고 싶다면, 위에 놓인 선택지가 유일하다는 것이다. '''지수함수를 복소수 범위까지 넓히고 싶다면, 이 정의를 따르는 것 말고는 방법이 없다.''' 그러니 이 정의를 채택하자. | ||
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| + | 이제 오일러의 공식은 그냥 따라 나오게 된다. | ||
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| + | 만약, <math>x=\pi</math> 라면, | ||
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| + | <math>e^{i\pi}+1=0</math> | ||
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2009년 4월 9일 (목) 11:06 판
간단한 소개
- \(e^{i \pi} +1 = 0\)
- 오일러의 발견
- 수학에서 가장 아름다운 정리로 여겨지는 것 중 하나.
- 수학에서 중요한 다섯개의 상수()와 중요한 세개의 연산( ^)이 함께 등장.
- 동일한 이름의 (역시 아름다운) 정리로, (다면체에 대한) 오일러의 정리가 있음. V - E + F = 2.
- 복소함수론에서는 복소지수함수를 다음과 같이 정의함.
\(e^{ix}=\cos x+ i\sin x\)
위의 식에 \(x=\pi\) 를 대입하면, 오일러의 공식이 얻어짐.
직관과 유추를 통한 유도
우리는 실수 \(x\)에 대하여, \(e^x\)를 정의할 수 있다. 이제 우리 앞의 과제는 지수\(x\)를 실수를 넘어 복소수까지 확장하는 것이다.
복소수지수를 정의하기 위해서, 실수범위까지 정의된 지수함수에 대해 복습을 해 보자.
지수함수 f는 다음과 같은 성질들을 만족한다. 이 부분을 눈을 번쩍 뜨고 봐주길 바란다.
1. \(f(0)=1\)
2. \(f(x+y)=f(x)f(y)\)
3. f는 미분가능
두번째 성질을 지수함수의 가장 중요한 성질로 보존하고 싶다면, 지수함수를 복소수까지 확장하는 데는 다음을 만족시킬 필요가 있다.
\(e^{x+iy}=e^x e^{iy}\)
따라서, 실수 x에 대하여, 아래의 수식을 정의하는 것으로 목표를 좁힐 수 있다.
\(e^{ix}\)
위에 언급한 지수함수의 성질이 중요한 이유는, 이 세가지 성질이 역으로 지수함수들을 규정하기 때문이다. 다시 말해, 이 세가지 성질을 만족시킬 수 있는 함수는 오직 지수함수 뿐이다. 이 세가지 성질을 만족시키는 함수를 찾으라고 한다면, 어떤 양수 \(\alpha\)가 있어서,
\(f(x)={\alpha}^x\)
를 만족시키게 된다. 이 경우,
\(\ln \alpha=c\)로 두면, \(f(x)={\alpha}^x=e^{cx}\) 가 만족된다.
그리고, 이 지수함수를 미분하게 되면,
\(\frac{df}{dx} =ce^{cx}=cf(x)\)
가 만족된다.
여기에서 기억해야 할 사실은 단 하나, 모든 지수함수는 \(e^{cx}\)의 형태로 쓸 수 있고, \(c\)는 미분을 할 때, 앞에 상수로 튀어나오는 숫자라는 것이다.
이제 오일러의 공식을 유도하기 위한 모든 준비는 끝났다.
\(f(x)=\cos x+ i\sin x\)
라고 정의된, 실수 x 를 넣으면 복소수 값을 뱉어내는 함수를 생각해 보자. 이 함수는 다음 성질들을 만족한다.
1. \(f(0)=\cos 0+ i\sin 0=1\)
2. \(f(x)f(y)=(\cos x+ i\sin x)(\cos y+i\sin y)=cos (x+y)+i sin (x+y)=f(x+y)\)
3. \(\cos x,\sin x\)이 미분가능하므로 \(f\) 역시 미분가능
그저 삼각함수와 허수를 결합시켰을 뿐인데, 지수함수만이 만족시킬수 있는 함수가 신비스럽게도(?) 만들어졌다.
이 함수를 미분해보자.
\(\frac{df}{dx} =-\sin x +i \cos x=i(\cos x+ i\sin x)=if(x)\)
지수함수를 복소수 범위까지 확장하는데 있어서, 실수범위까지 정의되었던 지수함수가 만족시키는 성질과 미적분학의 규칙들을 보존하고 싶다면, 이제까지의 논의를 통해 우리에게 주어지는 선택지는 단 하나.
\(f(x)=\cos x+ i\sin x=e^{ix}\)
다시 말해, 실수 \(x\)에 대하여, \(e^{ix}\) 를 정의하고 싶다면, 위에 놓인 선택지가 유일하다는 것이다. 지수함수를 복소수 범위까지 넓히고 싶다면, 이 정의를 따르는 것 말고는 방법이 없다. 그러니 이 정의를 채택하자.
이제 오일러의 공식은 그냥 따라 나오게 된다.
만약, \(x=\pi\) 라면,
\(f(\pi)=e^{i\pi}=\cos \pi+ i\sin \pi=-1\)
따라서,
\(e^{i\pi}+1=0\)
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- '박사가 사랑한 수식'
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- 박사가 사랑한 수식이란 바로 이 '오일러의 공식'을 가리킴.
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- 엘리 마오 저/허민 역 | 경문사(박문규)
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- 리만의 제타함수 (7) : 오일러의 공식 - 박사가 사랑한 수식 (피타고라스의 창)