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* <math>K = \mathbb Q(\zeta_n)</math>라 하자.
  
 
 
 
 
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<h5>갈루아군</h5>
 
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<math>\zeta_n</math>는 원시 n-단위근이고 <math>K = \mathbb Q(\zeta_n)</math>라 하자.
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<math>\text{Gal}(K/\mathbb Q) \simeq (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times</math>
 
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* <math>K = \mathbb Q(\zeta_4)=\mathbb{Q}(\sqrt{-1})</math>의 경우 <math>d_K=-4</math><br>
 
* <math>K = \mathbb Q(\zeta_4)=\mathbb{Q}(\sqrt{-1})</math>의 경우 <math>d_K=-4</math><br>
 
** <math>G=\text{Gal}(K/\mathbb Q) \simeq (\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^\times =\{1,3\}</math>
 
** <math>G=\text{Gal}(K/\mathbb Q) \simeq (\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^\times =\{1,3\}</math>
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** <math>\hat{G}=\{1,\chi\}</math><br><math>\chi(a)=\left(\frac{-4}{a}\right)</math><br>
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** <math>\hat{G}=\{1,\chi\}</math><br><math>\chi(a)=\left(\frac{-4}{a}\right)=\left(\frac{-1}{a}\right)</math><br>
 
** <math>1\in \hat{G}</math>의 conductor는 1
 
** <math>1\in \hat{G}</math>의 conductor는 1
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** <math>\chi\in\hat{G}</math>의 conductor는 3
+
** <math>\chi\in\hat{G}</math>의 conductor는 4
 
**  따라서 제타함수의 분해는 다음과 같음<br><math>\zeta_{K}(s)=\zeta(s)L(\chi,s)</math><br>
 
**  따라서 제타함수의 분해는 다음과 같음<br><math>\zeta_{K}(s)=\zeta(s)L(\chi,s)</math><br>
  

2009년 11월 27일 (금) 08:20 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

간단한 소개
  • 크로네커-베버 정리
  • cyclotomic units

 

 

기호
  • \(\zeta_n\)는 원시 n-단위근
  • \(K = \mathbb Q(\zeta_n)\)라 하자.

 

 

갈루아군
  •  

\(\text{Gal}(K/\mathbb Q) \simeq (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\)

\(G=\text{Gal}(K/\mathbb Q) \)

 

 

\(\wp \subset K\) 는 소수 p 를 나누는 unramified prime ideal이라 하자. 

소수 p에 대한 아틴 심볼은  \(\sigma_p(\alpha)=\alpha ^p \pmod \wp\) 를 만족시키는 \(\sigma_p \in \text{Gal}(K/\mathbb Q)\) 로 정의

\(\sigma_p(\zeta)=\zeta ^p=\zeta^{an+b}=\zeta^b\) 이므로, 아틴심볼은 p를 n으로 나눈 나머지에 의존

유한생성 아벨군의 기본정리

 

 

원분체의 데데킨트 제타함수
  • \(K = \mathbb Q(\zeta_n)\)에 대한 데데킨트 제타함수
    \(\zeta_{K}(s)=\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{1}{N(\mathfrak{a})^s}=\prod_{\mathfrak{p} \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-N(\mathfrak{p})^{-s}}\)

 

  • \(G=\text{Gal}(K/\mathbb Q) \simeq (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\)의 쌍대군  \(\hat{G}\)을 정의
  • \(\hat{G}\)의 원소는 모두 적당한 conductor \(f|n\) 을 갖는 원시(primitive) 디리클레 character 로부터 얻어진다.
  • 이 디리클레 character 의 집합을 \(\tilde{G}\)라 하자

(정리)

\(\zeta_K(s)=\prod_{\chi\in \tilde{G}}L(s,\chi)\)

 

(따름정리)

등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리

 

예
  • \(K = \mathbb Q(\zeta_3)=\mathbb{Q}(\sqrt{-3})\)의 경우 \(d_K=-3\)
    • \(G=\text{Gal}(K/\mathbb Q) \simeq (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^\times =\{1,2\}\)
    • \(\hat{G}=\{1,\chi\}\)
      \(\chi(a)=\left(\frac{a}{3}\right)\)
    • \(1\in \hat{G}\)의 conductor는 1
    • \(\chi\in\hat{G}\)의 conductor는 3
    • 따라서 제타함수의 분해는 다음과 같음
      \(\zeta_{K}(s)=\zeta(s)L(\chi,s)\)
  • \(K = \mathbb Q(\zeta_4)=\mathbb{Q}(\sqrt{-1})\)의 경우 \(d_K=-4\)
    • \(G=\text{Gal}(K/\mathbb Q) \simeq (\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^\times =\{1,3\}\)
    • \(\hat{G}=\{1,\chi\}\)
      \(\chi(a)=\left(\frac{-4}{a}\right)=\left(\frac{-1}{a}\right)\)
    • \(1\in \hat{G}\)의 conductor는 1
    • \(\chi\in\hat{G}\)의 conductor는 4
    • 따라서 제타함수의 분해는 다음과 같음
      \(\zeta_{K}(s)=\zeta(s)L(\chi,s)\)

 

 

디리클레 class number 공식과의 관계

\(\zeta_{K}(s)=\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{1}{N(\mathfrak{a})^s}=\prod_{\mathfrak{p} \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-N(\mathfrak{p})^{-s}}\)

 

 

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