"이차 수체에 대한 디리클레 유수 (class number) 공식"의 두 판 사이의 차이
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* [[이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식 |이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식]] | * [[이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식 |이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식]] | ||
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* 디리클레의 class number 공식은 이차수체의 class number와 <math>s=1</math>에서의 <math>\zeta_{K}(s)</math> 의 residue 사이의 관계를 표현 | * 디리클레의 class number 공식은 이차수체의 class number와 <math>s=1</math>에서의 <math>\zeta_{K}(s)</math> 의 residue 사이의 관계를 표현 | ||
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* 이차수체 <math>K</math>에 대하여, [[데데킨트 제타함수]]는 다음과 같이 정의됨 | * 이차수체 <math>K</math>에 대하여, [[데데킨트 제타함수]]는 다음과 같이 정의됨 | ||
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<math>A=\frac{\sqrt{|d_K|}}{2}</math>는 <math>O_K</math> 의 integral basis가 만드는 평행사변형의 면적이라고 하자. | <math>A=\frac{\sqrt{|d_K|}}{2}</math>는 <math>O_K</math> 의 integral basis가 만드는 평행사변형의 면적이라고 하자. | ||
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(정리) 디리클레 class number 공식<br> 실 이차 수체(real quadratic field) <math>K</math>에 대하여, 다음 등식이 성립한다. | (정리) 디리클레 class number 공식<br> 실 이차 수체(real quadratic field) <math>K</math>에 대하여, 다음 등식이 성립한다. | ||
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<math>K=\mathbb{Q}(\sqrt{5})</math>, <math>\epsilon_K=\frac{1+\sqrt{5}}{2}</math>, <math>d_K=5</math>, <math>h_K=1</math> | <math>K=\mathbb{Q}(\sqrt{5})</math>, <math>\epsilon_K=\frac{1+\sqrt{5}}{2}</math>, <math>d_K=5</math>, <math>h_K=1</math> | ||
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* 7이상의 소수 <math>p \equiv 3 \pmod{4}</math> 에 대하여 <math>K=\mathbb{Q}(\sqrt{-p})</math> 의 class number는 다음과 같다 | * 7이상의 소수 <math>p \equiv 3 \pmod{4}</math> 에 대하여 <math>K=\mathbb{Q}(\sqrt{-p})</math> 의 class number는 다음과 같다 | ||
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(정리) class number 공식 | (정리) class number 공식 | ||
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/ | * http://ko.wikipedia.org/wiki/ | ||
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* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxUUlzMVpyOUpWZ3M/edit | * https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxUUlzMVpyOUpWZ3M/edit | ||
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* [http://books.google.com/books?id=U91lsCaJJmsC Multiplicative Number Theory] (Graduate Texts in Mathematics, Vol. 74)<br> | * [http://books.google.com/books?id=U91lsCaJJmsC Multiplicative Number Theory] (Graduate Texts in Mathematics, Vol. 74)<br> | ||
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* [http://www.math.umass.edu/%7Eweston/oldpapers/cnf.pdf Lectures on the Dirichlet Class Number Formula for Imaginary Quadratic Fields]<br> | * [http://www.math.umass.edu/%7Eweston/oldpapers/cnf.pdf Lectures on the Dirichlet Class Number Formula for Imaginary Quadratic Fields]<br> | ||
2012년 11월 1일 (목) 12:58 판
이 항목의 스프링노트 원문주소==
개요
- 디리클레의 class number 공식은 이차수체의 class number와 \(s=1\)에서의 \(\zeta_{K}(s)\) 의 residue 사이의 관계를 표현
- 이차 수체의 여러가지 불변량이 등장한다
데데킨트 제타함수
- 이차수체 \(K\)에 대하여, 데데킨트 제타함수는 다음과 같이 정의됨
\(\zeta_{K}(s)=\sum_{I \text{:ideals}}\frac{1}{N(I)^s}=\prod_{\wp \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-N(\wp)^{-s}}\)
- \(d_K\)를 이차수체 \(K\)의 판별식이라 하면, 다음과 같이 두 L-함수의 곱으로 표현가능
\(\zeta_{K}(s)=\zeta(s)L(\chi,s)=\zeta(s)L_{d_K}(s)\)
\(d_K\)를 나누지 않는 소수 \(p\)에 대하여 \(\chi(p)=\left(\frac{d_K}{p}\right)\) 를 만족시키는 준동형사상 \(\chi \colon(\mathbb{Z}/d_K\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}\)
\(L_{d_K}(s):=L(s, \chi)\)
- 일반적인 데데킨트 제타함수에 대해서는 데데킨트 제타함수 참조
복소이차수체에 대한 디리클레 class number 공식
(정리) 디리클레 class number 공식
복소 이차 수체(imaginary quadratic field) \(K\)에 대하여, 다음 등식이 성립한다.
\( \lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{2\pi h_K}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}}\)
\(h_K\) 는 class number, \(w_K\)는 \(O_K\) 의 unit group의 크기, \(d_K\)는 \(K\)의 판별식(discriminant)
\(L(1,\chi)=L_{d_K}(1)=\frac{2\pi h_K}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}}\)
(따름정리)
\(q \geq 2\) 는 소수라 가정하자.
\(K=\mathbb{Q}(\sqrt{-q})\), \(q \geq 7\) , \(q \equiv 3 \pmod{4}\) 인 경우
\(d_K=-q\)
\(\chi(a)=\left(\frac{a}{q}\right)\)
\(\chi(-1)=-1\), 가우스 합은 \(\tau(\chi)=i\sqrt{q}\)
디리클레 L-함수 에서 얻은 결과를 이용하면, 다음을 얻는다
\(L(1,\chi)= \frac{- \pi\sqrt{q}}{q^2}\sum_{a=1}^{q-1}\left(\frac{a}{q}\right) a=\frac{\pi h_K}{\sqrt{q}}\)
\(h_K=-\sum_{a=1}^{q-1}\left(\frac{a}{q}\right)\frac{a}{q}\)
\(K=\mathbb{Q}(\sqrt{-q})\) , \(q \geq 5\) , \(q \equiv 1 \pmod{4}\) 인 경우
\(d_K=-4q\)
\(\chi(-1)=-1\), 가우스 합은 \(\tau(\chi)=2i\sqrt{q}\)
마찬가지로 디리클레 L-함수 에서 얻은 결과를 이용하면, 다음을 얻는다
\(L(1,\chi)= -\frac{ \pi\sqrt{q}}{8q^2}{\sum_{(a,4q)=1}\chi(a) a=\frac{\pi h_K}{2\sqrt{q}}\)
\(h_K=-\frac{1}{4}\sum_{a=1,(a,4q)=1}^{4q-1}(-1)^{\frac{a-1}{2}}\left(\frac{a}{q}\right)\frac{a}{q}\)
\(n \geq 2\)가 squarefree라 하자.
\(K=\mathbb{Q}(\sqrt{-n})\) 의 경우
\(n \geq 5\) 이고 \(n \equiv 1 \pmod{4}\) 인 경우, \(d_K=-4n\)
\( \lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{\pi h_K}{2\sqrt{n}}\)
\(n \geq 7\) 이고 \(n \equiv 3 \pmod{4}\) 인 경우, \(d_K=-n\)
\( \lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{\pi h_K}{\sqrt{n}}\)
증명
\(A=\frac{\sqrt{|d_K|}}{2}\)는 \(O_K\) 의 integral basis가 만드는 평행사변형의 면적이라고 하자.
\(\zeta_{K}(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^s}\)
여기서 \(a_n\) 은 norm 이 \(n\)인, 모든 ideal의 개수이다.
\(a_n(C)\) 는 ideal class \(C\) 에서, norm 이 \(n\)인 ideal의 개수로 정의하자.
증명의 아이디어
각각의 ideal class에 대하여, 주어진 norm 보다 작은 ideal의 개수를 estimate한다
즉, \(A_M(C)=\sum_{n=1}^M a_n(C)\) 의 크기를 알아보면 된다.
- principal ideal class \(C\)
- \(A_M(C)=\sum_{n=1}^M a_n(C)\)
- \(|A_M(C)-\frac{\pi}{Aw}M|\leq C \sqrt{M}\), C는 적당한 상수
- 다른 아이디얼 클래스 \(C'\)
- \(A_M(C')=\sum_{n=1}^M a_n(C')\)
- \(|A_M(C')-\frac{\pi}{Aw}M|\leq C' \sqrt{M}\) 임을 보일 수 있다.
- class number의 유한성에 의하여, 적당한 상수 \(C_K\)가 존재하여
\(|A_M-\frac{\pi h}{Aw}M|\leq C_K \sqrt{M}\) 가 성립한다.
다음과 같이 L-급수를 정의하자.
\(f(s)=\sum_{n=1}^{\infty}(a_n-\frac{h\pi}{Aw}) \frac{1}{n^s}\)
위에서 얻은 부등식에 의하여, 다음부등식을 얻는다.
\(|\sum_{n=1}^{M}(a_n-\frac{h\pi}{Aw})|=|A_M-\frac{h\pi }{Aw}M|\leq C_K \sqrt{M}\)
따라서
\(f(s)=\sum_{n=1}^{\infty}(a_n-\frac{h\pi}{Aw}) \frac{1}{n^s}\) 는 \(s > \frac{1}{2}\) 에서 수렴하고, \(f(1)\) 이 존재한다.
\(s > 1\) 이면, \(f(s)=\sum_{n=1}^{\infty}(a_n-\frac{h\pi}{Aw}) \frac{1}{n^s}=\zeta_{K}(s)-\frac{h\pi}{Aw}\zeta(s)\)
\(\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\lim_{s\to 1} (s-1)f(s)+\lim_{s\to 1} (s-1)\frac{h\pi}{Aw}\zeta(s)=\frac{h\pi}{Aw}\)
실 이차수체에 대한 디리클레 class number 공식
(정리) 디리클레 class number 공식
실 이차 수체(real quadratic field) \(K\)에 대하여, 다음 등식이 성립한다.
\( \lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{2 h_K \ln \epsilon_K}{\sqrt{d_K}}\)
\(h_K\) 는 class number, \(d_K\)는 \(K\)의 판별식(discriminant), \(\epsilon_K\)은 fundamental unit
(따름정리)
실 이차수체 \(K\), \(d_K=q\)는 판별식
\(d_K\)를 나누지 않는 소수 \(p\)에 대하여 \(\chi(p)=\left(\frac{d_K}{p}\right)\) 를 만족시키는 준동형사상 \(\chi \colon(\mathbb{Z}/d_K\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}\)
\(L_{d_K}(s):=L(s, \chi)\)
\(L_{d_K}(1)=L(1,\chi)=-\frac{\tau(\chi)}{q}\sum_{a=1,(a,q)=1}^{q-1}\bar\chi(a)\log(\sin \frac{a\pi}{q}})=\frac{2 h_K \ln \epsilon_K}{\sqrt{d_K}}\)
(따름정리)
소수 \(q\)에 대하여, \(K=\mathbb{Q}(\sqrt{q})\)
\(q \geq 5\), \(q \equiv 1 \pmod{4}\) 인 경우
\(2 h_K \ln \epsilon_K=-\sum_{a=1}^{q-1}\chi(a)\log(\sin \frac{a\pi}{q}})\)
\(q \geq 3\), \(q \equiv 3 \pmod{4}\) 인 경우
\(2 h_K \ln \epsilon_K=-\sum_{a=1,(a,4q)=1}^{4q-1}\chi(a)\log(\sin \frac{a\pi}{4q}})\)
로 주어진다.
(증명)
\(q \geq 5\), \(q \equiv 1 \pmod{4}\) 인 경우 \(d_K=q\)
\( \lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=L_{d_K}(1)\) 이므로 디리클레 L-함수 에서 얻어진 결과
\(L_{d_K}(1)=L(1,\chi)=-\frac{1}{\sqrt{q}}\sum_{a=1}^{q-1}(\frac{a}{q})\log(\sin \frac{a\pi}{q}})=\frac{2 h_K \ln \epsilon_K}{\sqrt{q}}\)
\(q \geq 3\), \(q \equiv 3 \pmod{4}\) 인 경우 \(d_K=4q\)
소수 \(p \neq 2 , q\)에 대하여
\(\chi(p)=\left(\frac{-1}{p}\right)\left(\frac{p}{q}\right)\)
마찬가지로 디리클레 L-함수 에서 얻어진 결과에 의하여
\(L(1,\chi)=-\frac{1}{2\sqrt{q}}\sum_{(a,4q)=1}\chi(a)\log(\sin \frac{a\pi}{4q}})=\frac{2 h_K \ln \epsilon_K}{2\sqrt{q}}\)
(증명끝)
예==
\(K=\mathbb{Q}(\sqrt{5})\), \(\epsilon_K=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\), \(d_K=5\), \(h_K=1\)
\(h_K =\frac{-1}{{2 \ln \epsilon_K} }\sum_{a=1}^{4}(\frac{a}{5})\log(\sin \frac{a\pi}{5}})=1\)
\(K=\mathbb{Q}(\sqrt{13})\), \(\epsilon_K=\frac{3+\sqrt{13}}{2}\), \(d_K=13\), \(h_K=1\)
\(h_K =\frac{-1}{{2 \ln \epsilon_K} }\sum_{a=1}^{12}(\frac{a}{13})\log(\sin \frac{a\pi}{13}})=1\)
\(K=\mathbb{Q}(\sqrt{3})\), \(d_K=12\), \(\epsilon_K=2+\sqrt{3}\), \(h_K=1\)
\(-\sum_{(a,12)=1}\chi(a)\log(\sin \frac{a\pi}{12}})=-(\log\sin\frac{\pi}{12}-\log\sin\frac{5\pi}{12}-\log\sin\frac{7\pi}{12}+\log\sin\frac{11\pi}{12})= 2\ln (2+\sqrt{3})=2.6339\cdots \)
\(K=\mathbb{Q}(\sqrt{7})\) , \(d_K=28\), \(\epsilon_K=8+3\sqrt{7}\), \(h_K=1\)
\(-\sum_{(a,28)=1}\chi(a)\log(\sin \frac{a\pi}{28}})=2\ln (8+3\sqrt{7})=5.53732\cdots\)
- class number와 unit 은 실 이차수체(real quadratic field) 의 class number와 fundamental unit 항목을 참조
가우스합과 class number
- 7이상의 소수 \(p \equiv 3 \pmod{4}\) 에 대하여 \(K=\mathbb{Q}(\sqrt{-p})\) 의 class number는 다음과 같다
\(h_K=-\sum_{a=1}^{p-1}\left(\frac{a}{p}\right)\frac{a}{p}\)
- 디리클레 L-함수 항목 참조
- 이 결과와 순환소수를 결합하면 순환소수와 class number 의 멋진 결과를 얻을 수 있다
일반화된 class number 공식
(정리) class number 공식
\( \lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{2^{r_1}\cdot(2\pi)^{r_2}\cdot h_K\cdot \operatorname{Reg}_K}{w_K \cdot \sqrt{|D_K|}}\)
역사
- 수학사연표
- 1837 - 디리클레가 등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리를 증명
관련된 항목들
- 가우스의 class number one 문제
- 디리클레 급수
- 디리클레 L-함수
- 수체의 class number
- 이차 수체(quadratic number fields) 의 정수론
- The modular group, j-invariant and the singular moduli
- 타원적분, 타원함수, 타원곡선
- 라마누잔의 class invariants
- 가우스합
사전 형태의 자료==
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Class_number_formula
- http://en.wikipedia.org/wiki/Dedekind_zeta_function
매스매티카 파일 및 계산 리소스
- https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxUUlzMVpyOUpWZ3M/edit
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=1/23
- http://functions.wolfram.com/
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- Numbers, constants and computation
- 매스매티카 파일 목록
관련도서 및 추천도서
- Multiplicative Number Theory (Graduate Texts in Mathematics, Vol. 74)
- Harold Davenport
- Advanced Number Theory
- Harvey Cohn, 1980
리뷰논문, 에세이, 강의노트
- Lectures on the Dirichlet Class Number Formula for Imaginary Quadratic Fields
- Tom Weston (personal webpage)
- good introduction to the Dirichlet class number formula for quadratic imaginary fields
- Gauss' class number problem for imaginary quadratic fields
- Dorian Goldfeld, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) Volume 13, Number 1 (1985), 23-37
- [Girstmair94]A "Popular" Class Number Formula Kurt Girstmair, The American Mathematical Monthly, Vol. 101, No. 10 (Dec., 1994), pp. 997-1001
- HLS Orde, Journal of the London Mathematical Society, 1978
\(\zeta_{K}(s)=\zeta(s)L(\chi,s)=\zeta(s)L_{d_K}(s)\)
\(d_K\)를 나누지 않는 소수 \(p\)에 대하여 \(\chi(p)=\left(\frac{d_K}{p}\right)\) 를 만족시키는 준동형사상 \(\chi \colon(\mathbb{Z}/d_K\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}\)
\(L_{d_K}(s):=L(s, \chi)\)
복소 이차 수체(imaginary quadratic field) \(K\)에 대하여, 다음 등식이 성립한다.
- \(A_M(C)=\sum_{n=1}^M a_n(C)\)
- \(|A_M(C)-\frac{\pi}{Aw}M|\leq C \sqrt{M}\), C는 적당한 상수
- \(A_M(C')=\sum_{n=1}^M a_n(C')\)
- \(|A_M(C')-\frac{\pi}{Aw}M|\leq C' \sqrt{M}\) 임을 보일 수 있다.
\(|A_M-\frac{\pi h}{Aw}M|\leq C_K \sqrt{M}\) 가 성립한다.
실 이차 수체(real quadratic field) \(K\)에 대하여, 다음 등식이 성립한다.
- class number와 unit 은 실 이차수체(real quadratic field) 의 class number와 fundamental unit 항목을 참조
가우스합과 class number
- 7이상의 소수 \(p \equiv 3 \pmod{4}\) 에 대하여 \(K=\mathbb{Q}(\sqrt{-p})\) 의 class number는 다음과 같다
\(h_K=-\sum_{a=1}^{p-1}\left(\frac{a}{p}\right)\frac{a}{p}\)
- 디리클레 L-함수 항목 참조
- 이 결과와 순환소수를 결합하면 순환소수와 class number 의 멋진 결과를 얻을 수 있다
일반화된 class number 공식
(정리) class number 공식
\( \lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{2^{r_1}\cdot(2\pi)^{r_2}\cdot h_K\cdot \operatorname{Reg}_K}{w_K \cdot \sqrt{|D_K|}}\)
역사
- 수학사연표
- 1837 - 디리클레가 등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리를 증명
관련된 항목들
- 가우스의 class number one 문제
- 디리클레 급수
- 디리클레 L-함수
- 수체의 class number
- 이차 수체(quadratic number fields) 의 정수론
- The modular group, j-invariant and the singular moduli
- 타원적분, 타원함수, 타원곡선
- 라마누잔의 class invariants
- 가우스합
사전 형태의 자료==
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Class_number_formula
- http://en.wikipedia.org/wiki/Dedekind_zeta_function
매스매티카 파일 및 계산 리소스
- https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxUUlzMVpyOUpWZ3M/edit
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=1/23
- http://functions.wolfram.com/
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- Numbers, constants and computation
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관련도서 및 추천도서
- Multiplicative Number Theory (Graduate Texts in Mathematics, Vol. 74)
- Harold Davenport
- Advanced Number Theory
- Harvey Cohn, 1980
리뷰논문, 에세이, 강의노트
- Lectures on the Dirichlet Class Number Formula for Imaginary Quadratic Fields
- Tom Weston (personal webpage)
- good introduction to the Dirichlet class number formula for quadratic imaginary fields
- Gauss' class number problem for imaginary quadratic fields
- Dorian Goldfeld, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) Volume 13, Number 1 (1985), 23-37
- [Girstmair94]A "Popular" Class Number Formula Kurt Girstmair, The American Mathematical Monthly, Vol. 101, No. 10 (Dec., 1994), pp. 997-1001
- HLS Orde, Journal of the London Mathematical Society, 1978
- Harold Davenport
- Harvey Cohn, 1980
- Tom Weston (personal webpage)
- good introduction to the Dirichlet class number formula for quadratic imaginary fields
- Dorian Goldfeld, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) Volume 13, Number 1 (1985), 23-37
- HLS Orde, Journal of the London Mathematical Society, 1978