"이차 수체의 데데킨트 제타함수"의 두 판 사이의 차이
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2012년 6월 1일 (금) 16:38 판
이 항목의 수학노트 원문주소
개요
- 이차수체 \(K\)에 대하여, 데데킨트 제타함수는 다음과 같이 정의됨
\(\zeta_{K}(s)=\sum_{I \text{:ideals}}\frac{1}{N(I)^s}\)
제타함수의 분해
- (정리)
\(\zeta_{K}(s)=\prod_{\wp \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-N(\wp)^{-s}}=\zeta(s)L_{d_K}(s)\)
- 위에서 사용된 기호들에 대한 설명
\(\zeta(s)\) 는 리만제타함수와 리만가설
\(L_{d_K}(s)\)는 디리클레 L 함수(디리클레 L-함수 항목 참조)
\(\chi\)는 \(d_K\)를 나누지 않는 소수 \(p\)에 대하여 \(\chi(p)=\left(\frac{d_K}{p}\right)\) 를 만족시키는 준동형사상 \(\chi \colon(\mathbb{Z}/d_K\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}\)
- 일반적으로 \({d_K}=d_1d_2\)에 대응되는 genus character \(\chi \colon I_K \to \mathbb C^{*}\) (\(\chi \colon C_K \to \mathbb C^{*}\)) 를 정의할 수 있고, 두 디리클레 L-함수의 곱으로 표현가능함 (아래 정리 참조)
- 위의 경우는 \({d_K}=1\cdot d_K\) 에 해당
(정리)
\(\chi \colon I_K \to \mathbb C^{*}\) (\(\chi \colon C_K \to \mathbb C^{*}\))에 대하여
\(L(\chi,s) =L_{d_1}(s)L_{d_2}(s)\)
(증명)
\(L(\chi,s) =\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{\chi(\mathfrak{a})}{N(\mathfrak{a})^s} = \prod_{\mathfrak{p} \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-\chi(\mathfrak{p})N(\mathfrak{p})^{-s}}\)
\((p)=\mathfrak{p}_1\mathfrak{p}_2\)
\((p)=\mathfrak{p}_1\mathfrak{p}_2\)
\((p)=\mathfrak{p}_1\mathfrak{p}_2\)
역사
메모
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
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- 매스매티카 파일 목록
사전 형태의 자료
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- The Online Encyclopaedia of Mathematics
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The World of Mathematical Equations
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