"점화식, 미분방정식, 선형대수학"의 두 판 사이의 차이

2009년 12월 30일 (수) 06:13 판

\(pa_{n+2} + qa_{n+1} + ra_n = 0\) 꼴의 점화식

점화식의 해는 2차원 벡터공간을 이루므로, 두 개의 선형독립인 해를 찾으면 된다.

\(px^2 + qx + r = 0 \) 가 서로 다른 두 근을 \(\alpha, \beta\) 를 갖는 경우.

수열 \(\alpha^{n}\)와 \(\beta^{n}\)는 선형독립인 두 해가 된다.

따라서 점화식의 일반해는 그 선형결합 \(a_n = A\alpha^{n-1} + B\beta^{n-1}\) 꼴로 주어진다.

\(px^2 + qx + r = 0 \) 가 중근 \(\alpha\) 를 가지는 경우

수열 \(\alpha^{n-1} \)와 \(n\alpha^{n-1} \)는 선형독립인 두 해가 된다.

\(a_n = A\alpha^{n-1} + Bn\alpha^{n-1}\) 꼴이 된다.

벡터공간

내적

Hermitian operator

\((f'',g)=(f,g'')\)

@@ 17번째 줄: / 17번째 줄: @@
 <math>px^2 + qx + r = 0 </math> 가 서로 다른 두 근을 <math>\alpha, \beta</math> 를 갖는 경우.
-수열 <math>\alpha^{n-1}</math>와 <math>\beta^{n-1}</math>는 점화식의 해가 된다.
+수열 <math>\alpha^{n}</math>와 <math>\beta^{n}</math>는 선형독립인 두 해가 된다.
-<math>a_n = A\alpha^{n-1} + B\beta^{n-1}</math> 꼴이며, 초기항 두 개를 아는 경우 상수를 찾을 수 있다.
+따라서 점화식의 일반해는 그 선형결합 <math>a_n = A\alpha^{n-1} + B\beta^{n-1}</math> 꼴로 주어진다.
-중근 <math>\alpha</math> 를 가지는 경우에는 <math>a_n = A\alpha^{n-1} + Bn\alpha^{n-1}</math> 꼴이 된다.
+<math>px^2 + qx + r = 0 </math> 가 중근 <math>\alpha</math> 를 가지는 경우
+수열 <math>\alpha^{n-1} </math>와 <math>n\alpha^{n-1} </math>는 선형독립인 두 해가 된다.
-* <math>p+q+r =0</math> 일 때<br>
+<math>a_n = A\alpha^{n-1} + Bn\alpha^{n-1}</math> 꼴이 된다.
-** 잘 정리하면 <math>a_{n+2} - a_{n+1} = r(a_{n+1} - a_n)</math> 의 형태로 만들 수 있다. 그러면 계차수열 <math>b_n = a_{n+1} - a_{n}</math> 에 대한 등차수열이라고 생각하고, <math>b_n</math> 을 구한다.
-** 계차수열을 알 때 일반항을 구하는 건 할 수 있지?
-* <math>p+q+r \ne 0 </math> 일 때 : (교육 과정 외, 이 점화식만은 외우는 것을 권장함. 유도 과정이 너무 길다.)<br>
-**  결론부터 말하자면,<br>
-*** <math>px^2 + qx + r = 0 </math> 의 두 근을 <math>\alpha, \beta</math> 라 하면, <math>a_n = A\alpha^{n-1} + B\beta^{n-1}</math> 꼴이며, 초기항 두 개를 아는 경우 상수를 찾을 수 있다.
-*** 중근 <math>\alpha</math> 를 가지는 경우에는 <math>a_n = A\alpha^{n-1} + Bn\alpha^{n-1}</math> 꼴이 된다.
-** <math>px^2 + qx + r = 0 </math> 의 두 근 <math>\alpha, \beta</math> 에 대하여, <math>p(\alpha+ \beta) = -q,\quad p(\alpha \beta) = r</math> 이다. (근과 계수와의 관계) 그러므로<br><math>a_{n+2} - (\alpha + \beta)a_{n+1} + \alpha \beta a_n = 0</math> 라고 쓸 수 있다.<br> 이제 <math>a_{n+2} - \alpha a_{n+1} = \beta(a_{n+1} -\alpha a_n)</math> 으로 쓸 수 있다. <math>(a_{n+1} -\beta a_n)</math> 에 대한 등비수열을 풀기.<br><math>a_{n+2} - \beta a_{n+1} = \alpha (a_{n+1} -\beta a_n)</math> 로도 쓸 수 있다. <math>(a_{n+1} -\alpha a_n)</math> 에 대한 등비수열을 풀기.<br> 연립해서 <math>a_{n+1}</math> 을 소거하면 끝! 중근을 가지는 경우에 대한 유도는 독자에게 맡긴다.<br> 이 점화식을 <math>p+q+r=0</math> 인 점화식에 적용해서 풀지 말라는 법도 없다. 한 근이 무조건 1 이 나와서, (등비수열) + (상수) 꼴의 일반항이 나온다.<br>  <br>
-** ex) 피보나치 수열 <math>a_{n+2} =  a_{n+1} + a_n</math> 의 일반항을 구하시오. (<math>a_1 = a_ 2 = 1</math>)

"점화식, 미분방정식, 선형대수학"의 두 판 사이의 차이

2009년 12월 30일 (수) 06:13 판

둘러보기 메뉴

검색