"점화식, 미분방정식, 선형대수학"의 두 판 사이의 차이

2009년 12월 31일 (목) 05:04 판

\(pa_{n+2} + qa_{n+1} + ra_n = 0\) 꼴의 점화식

점화식의 해는 2차원 벡터공간을 이루므로, 두 개의 선형독립인 해를 찾으면 된다.

특성방정식 \(px^2 + qx + r = 0 \) 가 서로 다른 두 근을 \(\alpha, \beta\) 를 갖는 경우.

수열 \(\alpha^{n}\)와 \(\beta^{n}\)는 선형독립인 두 해가 된다.

따라서 점화식의 일반해는 그 선형결합 \(a_n = A\alpha^{n} + B\beta^{n}\) 꼴로 주어진다.

특성방정식 \(px^2 + qx + r = 0 \) 가 중근 \(\alpha\) 를 가지는 경우

수열 \(\alpha^{n} \)와 \(n\alpha^{n} \)는 선형독립인 두 해가 된다.

따라서 점화식의 일반해는 \(a_n = A\alpha^{n} + Bn\alpha^{n}\) 꼴로 주어진다.

(증명)

\(px^2 + qx + r = 0 \)가 중근 \(\alpha\)을 가지므로 \(p\alpha^2+q\alpha+r=0, 2p+q=0\)이다.

\(p(n+2)\alpha^{n+2} + q(n+1)\alpha^{n+1} + rn\alpha^{n} =(n(p\alpha^2+q\alpha+r)+(2p+q)) \alpha^n=0\) ■

벡터공간

내적

Hermitian operator

\((f'',g)=(f,g'')\)

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+<h5>선형점화식</h5>
 <math>pa_{n+2} + qa_{n+1} + ra_n = 0</math> 꼴의 점화식
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 수열 <math>\alpha^{n} </math>와 <math>n\alpha^{n} </math>는 선형독립인 두 해가 된다.
-<math>p(n+2)\alpha^{n+2} + q(n+1)\alpha^{n+1}  + rn\alpha^{n} =(n(p\alpha^2+q\alpha+r)+(2p+q)) \alpha^n=0</math>
+따라서 점화식의 일반해는 <math>a_n = A\alpha^{n} + Bn\alpha^{n}</math> 꼴로 주어진다.
+(증명)
+<math>px^2 + qx + r = 0 </math>가 중근 <math>\alpha</math>을 가지므로 <math>p\alpha^2+q\alpha+r=0, 2p+q=0</math>이다.
+<math>p(n+2)\alpha^{n+2} + q(n+1)\alpha^{n+1}  + rn\alpha^{n} =(n(p\alpha^2+q\alpha+r)+(2p+q)) \alpha^n=0</math> ■
+<h5>선형미분방정식</h5>
-<math>a_n = A\alpha^{n-1} + Bn\alpha^{n-1}</math> 꼴이 된다.