정다면체

간단한 소개

• 볼록 다면체 중에서 모든 면이 합동인 정다각형으로 이루어져 있으며, 각 꼭지점에서 만나는 면의 개수가 같은 도형
  
  
• 다섯개만이 존재
  
  • 정사면체
  • 정육면체
  • 정팔면체
  • 정십이면체
  • 정이십면체

다면체	그림	점 V	선 E	면 F	V-E+F	한점에서의 외각 A	외각의 총합 V × A
정사면체	[[|Tetrahedron]]	4	6	4	4-6+4=2	\(2\pi-3\times\frac{\pi}{3}=\pi\)	\(4\times\pi=4\pi\)
정육면체	[[|Hexahedron (cube)]]	8	12	6	8-12+6=2	\(2\pi-3\times\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}\)	\(8\times\frac{\pi}{2}=4\pi\)
정팔면체	[[|Octahedron]]	6	12	8	6-12+8=2	\(2\pi-4\times\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}\)	\(6\times\frac{2\pi}{3}=4\pi\)
정십이면체	[[|Dodecahedron]]	20	30	12	20-30+12=2	\(2\pi-3\times\frac{3\pi}{5}=\frac{\pi}{5}\)	\(20\times\frac{\pi}{5}=4\pi\)
정이십면체	[[|Icosahedron]]	12	30	20	12-30+20=2	\(2\pi-5\times\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3}\)	\(12\times\frac{\pi}{3}=4\pi\)

 

 

 

 

오일러의 정리를 사용하는 증명

• 다면체에 대한 오일러의 정리 V-E+F=2 를 사용

(증명)

정다면체가 F개의 정p각형으로 구성되어 있고, 각 꼭지점점에서 q개가 만난다고 하자.

꼭지점의 개수는

\(V = \frac{pF}{q}\)

변의 개수는

\(E = \frac{pF}{2}\)

여기서

\(n = qV = pF = 2E\) 로 두자.

오일러의 정리로부터,

\(2pq\times (V-E+F) = 2pq\times 2\)

\(2pn - pqn + 2qn= 4 pq\)

\(2pn + 2qn= 4 pq + pqn\)

양변을 \(2pqn\) 으로 나누면,

\(\frac{1}{q} + \frac{1}{p}= \frac{2}{n} + \frac{1}{2}\)

\(\frac{1}{p} + \frac{1}{q} > \frac{1}{2}\)

부등식을 풀면, \(\{3, 3\}, \{4, 3\},\{3, 4\},\{5, 3\},\{3,5\}\) 다섯개의 해를 얻는다.

 

 

군론을 통한 증명

\(\Gamma\) 를 크기가 n인 3차원 회전군이라 하자. 

 

 

플라톤과 정다면체

플라톤은 티마이오스에서, 우주가 4가지의 원소로 구성되어 있다고 했다. 불;공기;물 그리고 땅이 그것이다.
정다면체를 영어로 Platonic Solids 라고 한다. 플라톤이 직접 이것을 발견한 것은 아니었지만, 이렇게 플라톤의 이름이 여기에 붙게 된 것은 아마도, 플라톤이 위의 티마이오스에서, 각각의 원소를 각각의 정다면체에 대응시켜 놓았기 때문일 것이다. 불=정사면체, 공기=정팔면체, 물=정이십면체, 땅=정육면체 그리고 하나 남은 정십이면체는 우주전체이다.

 

 

 

케플러와 정다면체

케플러는 행성의 운동에 대한 여러가지 가설들을 만들고 테스트했는데, 그 중에 재밌는 것이 있다. 케플러의 시대만 하더라도, 알려진 행성이 여섯개였다고 한다. 수성, 금성, 지구, 화성, 목성, 토성이 바로 그것들이다. 여기서 케플러는 정다면체가 다섯개밖에 없다는 사실을 우연이 아니라고 생각했다.
먼저 큰 구를 하나 가져온다. 토성의 궤도가 이 구에 놓인다. 그 다음 그 구에 내접하는 정육면체를 그리고, 다시 정육면체에 내접하는 구를 그린다. 이 구에 목성의 궤도가 놓인다. 그 다음 구에 내접하는 정사면체와 정사면체에 내접하는 구를 그린다. 이 구에 화성의 궤도가 놓인다. 그 다음 정십이면체, 정이십면체, 마지막으로 정팔면체를 그려나가면서, 지구, 금성, 수성의 궤도를 만들어 간다. 케플러는 정다면체가 다섯개밖에 없다는 사실이 여섯개의 행성이 존재한다는 사실을 설명할 것이라 생각했다. 그러나 아마도 그는 관측결과를 바탕으로 행성운동에 대한 법칙을 세울 줄 알았던 위대한 과학자였으므로, 곧 관측 결과들이 궤도의 거리들과 일치하지 않는다는 점을 곧 깨달았을 것이다. 물론 나중에 천왕성이 발견됨으로써, 그의 이론은 산산조각이 났다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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재미있는 사실

• 살바도르 달리의 그림 '최후의 만찬'에는 정십이면체가 등장함
  
  • http://images.google.com/images?q=dali+last+supper
• 파치올리
  
  • http://images.google.com/images?q=pacioli
• 뒤러의 melancholia
  
  • http://images.google.com/images?q=durer_melancholia

 

 

관련된 다른 주제들

• 축구공의 수학
• 다면체에 대한 오일러의 정리 V-E+F=2
• 볼록다면체에 대한 데카르트 정리
• 황금비
• 구면기하학
• 테셀레이션

 

 

 

참고할만한 자료

• Art and Mathematics: The Platonic Solids
  
  • Michele Emmer, Leonardo, Vol. 15, No. 4 (Autumn, 1982), pp. 277-282
• http://ko.wikipedia.org/wiki/정다면체
• http://en.wikipedia.org/wiki/Platonic_solids
• 다음백과사전 http://enc.daum.net/dic100/search.do?q=정다면체

 

 

관련기사

• [영재교육원 수학특강(24) 축구공의 비밀(4)]
  
  • 경향신문, 2007-6-19

• [생활 속 과학 빨대로 정다면체 만들기]
  
  • 매일경제, 2005-06-15
• 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)
  
  • http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=정다면체
  • http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=

 

 

이미지 검색

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동영상

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